解：①当

C Q = 2 O Q

时，设

O Q = x

，则

C Q = 2 x

，

$∵ O C = \frac{1}{2} A B = 5$ ，
又 $∵ O C = O B ， C Q = B Q$ ，
$∴ O Q ⊥ B C$

在Rt $△ O C Q$ 中， $O Q^{2} + C Q^{2} = O C^{2}$

即 $x^{2} + {(2 x)}^{2} = 25$ ，
解得 $x = \sqrt{5} = O Q$ ，
$∴ B C = 4 x = 4 \sqrt{5}$

由 $\frac{B G}{B C} = \frac{B Q}{O B} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
$∴ B G = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \times 4 \sqrt{5} = 8$ ，
$∴ O G = B G - O B = 8 - 5 = 3$

当 $O G = 2 O Q$ 时，设 $O Q = x$ ，则 $O G = 2 x ， A C = 2 O Q = 2 x$

由 $A C^{2} - A G^{2} = O C^{2} - O G^{2}$ 得 $4 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{2} = 5^{2} - 4 x^{2}$ ，
化简得 $2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

解得 $x_{1} = \frac{5 \sqrt{3} - 5}{2} ， x_{2} = \frac{- 5 \sqrt{3} - 5}{2}$ （舍去）
$∴ O G = 2 x = 5 \sqrt{3} - 5$

当 $C G = 2 O Q$ 时，由于 $A C = 2 O Q$ ，
$∴ C G = A G$

但 $A C > C G ，$
∴此种情况不存在，

综上所述，当 $O G = 3$ 或 $5 \sqrt{3} - 5$ 时，四边形 $C G O D$ 的其中一边长为 $O Q$ 的2倍；

② $\frac{\sqrt{2}}{16}$ .

2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练培优题