解：方案甲中，连接

A C

，如图所示：

$∵$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $O$ 为 $B D$ 的中点，

$∴ O B = O D$ ， $O A = O C$ ，

$∵ B N = N O$ ， $O M = M D$ ，

$∴ N O = O M$ ，

$∴$ 四边形 $A N C M$ 为平行四边形，故方案甲正确；

方案乙中， $∵$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形，

$∴ A B = C D$ ， $A B / / C D$ ，

$∴ ∠ A B N = ∠ C D M$ ，

$∵ A N ⊥ B D$ ， $C M ⊥ B D$ ，

$∴ A N / / C M$ ， $∠ A N B = ∠ C M D$ ，

在 $△ A B N$ 和 $△ C D M$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A B N = ∠ C D M \\ ∠ A N B = ∠ C M D \\ A B = C D \end{array}$ ，

$∴ △ A B N$ ≌ $△ C D M (A A S)$ ，

$∴ A N = C M$ ，

又 $∵ A N / / C M$ ，

$∴$ 四边形 $A N C M$ 为平行四边形，故方案乙正确；

方案丙中， $∵$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形，

$∴ ∠ B A D = ∠ B C D$ ， $A B = C D$ ， $A B / / C D$ ，

$∴ ∠ A B N = ∠ C D M$ ，

$∵ A N$ 平分 $∠ B A D$ ， $C M$ 平分 $∠ B C D$ ，

$∴ ∠ B A N = ∠ D C M$ ，

在 $△ A B N$ 和 $△ C D M$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A B N = ∠ C D M \\ A B = C D \\ ∠ B A N = ∠ D C M \end{array}$ ，

$∴ △ A B N$ ≌ $△ C D M (A S A)$ ，

$∴ A N = C M$ ， $∠ A N B = ∠ C M D$ ，

$∴ ∠ A N M = ∠ C M N$ ，

$∴ A N / / C M$ ，

$∴$ 四边形 $A N C M$ 为平行四边形，故方案丙正确．

【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定