解：

①

当点

M

与点

P

在

G E

两侧时，如图：

$∵ P E / / M N$ ，

$∴ ∠ P E C = ∠ M N C = β$ ，

$∵ ∠ P E G = 40 °$ ，

$∴ ∠ G E C = ∠ P E G + ∠ P E C = 40 ° + β$ ，

设 $∠ G F C = α$ ，

$∵ A B / / C D$ ，

$∴ ∠ M G E = ∠ G E C = 40 ° + β$ ， $∠ G F C = ∠ M G F$ ，

$∵ G F$ 平分 $∠ M G E$ ，

$∴ ∠ M G F = \frac{1}{2} ∠ M G E = \frac{1}{2} (40 ° + β) = (20 + \frac{1}{2} β) °$ ，

$∴ ∠ G F C = (20 + \frac{1}{2} β) °$ ，

$②$ 当点 $M$ 与点 $P$ 在点 $G$ 的同侧时，如图：

$∵ P E / / M N$ ，

$∴ ∠ P E C = ∠ M N C = β$ ，

$∵ ∠ P E G = 40 °$ ，

$∴ ∠ G E C = ∠ P E G + ∠ P E C = 40 ° + β$ ，

$∵ A B / / C D$ ，

$∴ ∠ A G E + ∠ G E C = 180 °$ ， $∠ G F C + ∠ A G F = 180 °$ ，

$∴ ∠ A G E = 180 ° - ∠ G E C = 180 ° - (40 ° + β) = 140 ° - β$ ，

$∵ G F$ 平分 $∠ M G E$ ，

$∴ ∠ A G F = \frac{1}{2} ∠ A G E = \frac{1}{2} (140 ° - β) = 70 ° - \frac{1}{2} β$ ，

$∴ ∠ G F C = 180 ° - ∠ A G F = 180 ° - (70 ° - \frac{1}{2} β) = (110 + \frac{1}{2} β) °$ ．

综上所述： $∠ G F C$ 的度数为： $(20 + \frac{1}{2} β) °$ 或 $(110 + \frac{1}{2} β) °$ ．

人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 5.3平行线的性质