如图，连接

B D

，设

O A = O B = O D = r

，

则 $O E = r - 4$ ， $A C = 2 O E = 2 r - 8$ ， $A B = 2 r$ ，

∵ $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，

∴ $∠ A D B = 90 °$ ，

在 $R t △ A D B$ 中，由勾股定理得： $B D^{2} = A B^{2} - A D^{2}$

由（1）得： $∠ B E D = 90 °$ ，

∴ $∠ B E D = ∠ B E O = 90 °$ ，

由勾股定理得： $B E^{2} = O B^{2} - O E^{2}$ ， $B E^{2} = B D^{2} - D E^{2}$ ，

∴ $B D^{2} = A B^{2} - A D^{2} = B E^{2} + D E^{2} = O B^{2} - O E^{2} + D E^{2}$ ，

∴ ${(2 r)}^{2} - {(2 \sqrt{35})}^{2} = r^{2} - {(r - 4)}^{2} + 4^{2}$ ，整理得： $r^{2} - 2 r - 35 = 0$ ，

解得： $r = 7$ 或 $r = - 5$ （舍去），

∴ $A B = 2 r = 14$ ，

∴ $B D = \sqrt{A B^{2} - A D^{2}} = \sqrt{1 4^{2} - {(2 \sqrt{35})}^{2}} = 2 \sqrt{14}$ ，

∵ $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线，

∴ $A F ⊥ A B$ ，

∵ $D G ∥ A F$ ，

∴ $D G ⊥ A B$ ，

∴ $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} A D · B D = \frac{1}{2} A B · D G$ ，

∴ $D G = \frac{A D · B D}{A B} = \frac{2 \sqrt{35} \times 2 \sqrt{14}}{14} = 2 \sqrt{10}$ ．

人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.2点和圆、直线和园的位置关系