解：连接

O C

，如图所示，

由（1）得， $O C ⊥ C F$ ，

$∵ C E ⊥ A B$ ，

$∴ ∠ O C F = ∠ C E F = 90 °$ ，

$∴ ∠ F = ∠ O C E$ ．

$∵ s i n F = \frac{2}{3}$ ，

$∴ \frac{C E}{C F} = \frac{O E}{O C} = \frac{2}{3}$ ．

设 $O E = 2 x$ 则 $O C = O A = 3 x$ ，

$∴$ 在 $R t △ O C E$ 中， $C E = \sqrt{O C^{2} - O E^{2}} = \sqrt{9 x^{2} - 4 x^{2}} = \sqrt{5} x$ ，

$∴$ $C F = \frac{3 \sqrt{5} x}{2}$ ．

$∴$ 在 $R t △ C E F$ 中， $E F = \sqrt{C F^{2} - C E^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{5} x}{2})}^{2} - 5 x^{2}} = \frac{5}{2} x$ ．

$∵ A F = 10$ ，

$∴ A F = A O + O E + E F = 3 x + 2 x + \frac{5}{2} x = 10$ ，

$∴ x = \frac{4}{3}$ ．

$∴ C E = \sqrt{5} x = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$ ．

$∵ C E ⊥ A B$ ，

$∴ C E = E D = \frac{1}{2} C D$ ．

$∴ C D = \frac{8 \sqrt{5}}{3}$ ．

【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之垂径定理的应用