解：①点Q如下图所示．

∵点 $M (1 ， 1)$ ，

∴点 $P (- 2 ， 0)$ 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点 $P'$ ，

∴ $P' (- 1 ， 1)$ ，

∵点 $P'$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$ ， $N (2 ， 2)$ ，

∴点 $Q$ 的横坐标为： $2 \times 2 - (- 1) = 5$ ，纵坐标为： $2 \times 2 - 1 = 3$ ，

∴点 $Q (5 ， 3)$ ，在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长 $O N$ 至点 $A (3 ， 3)$ ，连接 $A Q$ ，

∵ $A Q / / O P$ ，

∴ $∠ A Q T = ∠ O P T$ ，

在 $△ A Q T$ 与 $△ O P T$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A Q T = ∠ O P T \\ ∠ A T Q = ∠ O T P \\ A Q = O P \end{array}$ ，

∴ $△ A Q T ≅ △ O P T (A A S)$ ，

∴ $T A = T O = \frac{1}{2} O A$ ，

∵ $A (3 ， 3)$ ， $M (1 ， 1)$ ， $N (2 ， 2)$ ，

∴ $O A = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$ ， $O M = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ ， $O N = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，

∴ $T O = \frac{1}{2} O A = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，

∴ $N T = O N - O T = 2 \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

∴ $N T = \frac{1}{2} O M$ ．

【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之三角形中位线定理