解：分两种情况：①当点P在

△ A B C

内部

如图，过点P作 $P G ⊥ B C$ ，交 $B C$ 于点G，过点C作 $C D ⊥ A P$ ，垂足为E，

∵ $C P = B P$

∴ $C G = B G = \frac{1}{2} B C$ ，

$R t △ A C E$ 中， $∠ A C E = 90 ° - α$

∴ $∠ P C E = ∠ P C A - ∠ A C E = (90 ° - \frac{1}{2} α) - (90 ° - α) = \frac{1}{2} α$

由（2）推证知 $∠ B C P = \frac{1}{2} α$

∴ $∠ P C E = ∠ B C P$

又 $∠ C E P = ∠ C G P = 90 °$ ， $C P = C P$

∴ $△ C E P ≅ △ C G P$

∴ $C E = C G = \frac{1}{2} B C$

又 $A C = B C$

∴ $R t △ A C E$ 中， $A C = 2 C E$

∴ $∠ C A E = α = 30 °$

②当点P在 $△ A B C$ 外部

如图，延长 $P D$ ，交 $B C$ 于点I，过点A作 $A H ⊥ P D$ ，垂足为点H

∵ $P C = B P$

∴ $∠ D I B = 90 °$ ， $C I = B I = \frac{1}{2} B C$

∵ $A D = B D$ ， $∠ A H D = ∠ D I B = 90 °$ ， $∠ A D H = ∠ B D I$

∴ $△ A D H ≅ △ B D I$

∴ $A H = B I = \frac{1}{2} B C$

又 $A C = B C = A P$

∴ $A P = 2 A H$

∴ $∠ A P H = 30 °$

∵ $∠ A C B = ∠ D I B = 90 °$

∴ $A C ∥ P I$

∴ $∠ P A C + ∠ A P H = 180 °$

∴ $∠ P A C = 180 ° - 30 ° = 150 °$

即 $α = 150 °$

综上， $α = 30 °$ 或 $150 °$

备战2024学年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形