解：作

A T ⊥ C D

于

T

，如图所示，

由（1）可知， $△ B C D ≌ △ A D E$ ，

$∴ ∠ C D B = ∠ D E A$ ，

$∵ ∠ C D E = 90 °$ ，

$∴ ∠ C D B = ∠ D E A = ∠ C D E = 90 °$ ．

$∵ A T ⊥ C D$ ，

$∴ ∠ A T D = ∠ D E A = ∠ C D E = 90 °$ ．

$∴$ 四边形 $A T D E$ 为矩形，

$∴ A T = D E$ ， $A E = D T$ ，

$∵ ∠ A T D = ∠ A E D = 90 °$ ，

$∴ △ D A T ≌ △ A D E$ ，

$∵ △ B C D ≌ △ A D E$ ，

$∴ △ D A T ≌ △ A D E ≌ △ B C D$ ．

$∴ A E = D T = B D$ ，

$∵ A C = A D$ ， $A T ⊥ C D$ ，

$∴ C T = D T$ ．

$∴ A E = D T = B D = C T$ ．

设 $A E = D T = B D = C T = x$ ，则 $C D = 2 C T = 2 x$ ，

$∵ A C = B C = \sqrt{2}$ ，

$∴$ 在 $R t △ B C D$ 中， $x^{2} + {(2 x)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$ ，

$∴ x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

$∴ B D = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之矩形的性质