解：存在，理由如下：

N的运动时间为： $\frac{2 \times (12 + 8)}{4} = 10$ （s），

M在 $A B$ 运动时间为： $\frac{12}{1} = 12$ （s），

即在整个运动过程中M一直在 $A B$ 上运动，

当直线 $M N$ 把长方形分成两个梯形时N在 $C D$ ，

如图：

$A M = t$ ，则 $B M = 12 - t$ ，

$C N = 4 t - A D - A B - B C = 4 t - 28$ ，则 $D N = C D - C N = 40 - 4 t$ ，

$S_{梯形 A M N D} = \frac{1}{2} (A M + D N) · A D = \frac{1}{2} \times (t + 40 - 4 t) \times 8 = 160 - 12 t$ ，

$S_{梯形 B M N C} = \frac{1}{2} (B M + C N) · B C = \frac{1}{2} \times (12 - t + 4 t - 28) \times 8 = 12 t - 64$ ，

当 $S_{梯形 A M N D} = 3 S_{梯形 B M N C}$ 时，

$160 - 12 t = 3 \times (12 t - 64)$ ，

解得： $t = \frac{22}{3}$ ，

当 $3 S_{梯形 A M N D} = S_{梯形 B M N C}$ 时，

$3 \times (160 - 12 t) = 12 t - 64$ ，

解得： $t = \frac{34}{3} > 10$ （不合题意，舍去），

故：当 $t = \frac{22}{3}$ 时，直线 $M N$ 把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为 $1 ： 3$ .

2023年浙教版数学七年级上册5.4一元一次方程的应用 同步测试（培优版）

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