解：①∵直线

AC ： y = - \frac{1}{2} x + 3

∴点C的坐标为（6，0），

如图，过点A作AH⊥y轴于点H，作AG⊥x轴于点G，

则 $A H = 2$ ， $C G = 8$

∴ ${AE}^{2} = {AC}^{2} = {(6 + 2)}^{2} + 4^{2} = 80$

$HE = \sqrt{{AE}^{2} - {AH}^{2}} = \sqrt{80 - 2^{2}} = 2 \sqrt{19}$

∴ $OE = HE - OH = 2 \sqrt{19} - 4$

∴点E的坐标为 $(0 ， 4 - 2 \sqrt{19})$ ；

②如图，

当 $∠ E D F = 90^{\circ}$ 时，由翻折得

$∠ ADC = ∠ ADE = \frac{360^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 135^{\circ}$

∴ $∠ ADO = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$ ，

∵ $A G = 4$ ，

∴ $DG = AG = 4$ ，

∴ $OD = DG - OG = 4 - 2 = 2$

∴点D的坐标为（2，0）；

如图，

当 $∠ DFE = 90^{\circ}$ 时， $AE = AC = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ ，

设 $D F = x$ ，则 $DE = DC = 8 - x$ ，

在Rt△DEF中由勾股定理得：

${(8 - x)}^{2} = x^{2} + {(4 \sqrt{5} - 4)}^{2}$ ，

解得： $x = 2 \sqrt{5} - 2$ ，

∴ $OD = DF - OF = 2 \sqrt{5} - 4$ ，

∴点D的坐标为 $(2 \sqrt{5} - 4 ， 0)$ ；

综上，点D的坐标为（2，0）或 $(2 \sqrt{5} - 4 ， 0)$ .

（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册5.6 二元一次方程与二次函数 同步测试

（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册5.6 二元一次方程与二次函数同步测试