解：

①

如图，连接EO，并延长交AB于点F，

$∵$ 四边形ABCD是正方形， $A B = 6 c m$ ，

$∴ C D = A B = 6 c m$ ， $A B / / C D$ ， $A D / / B C$ ， $O A = O B$ ， $A D ⊥ A B$ ，

$∵$ 四边形OCED是正方形，

$∴ O E = C D = 6 c m$ ， $E F ⊥ C D$ ，

$∴ E F ⊥ A B$ ，

$∴ O F = A F = \frac{1}{2} A B = 3 (c m)$ ， $A D / / E F$ ，

$∴ E F = O E + O F = 9 c m$ ， $∠ E A D = ∠ A E F$ ，

在 $R t △ A E F$ 中， $A E = \sqrt{A F^{2} + E F^{2}} = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3 \sqrt{10} (c m)$ ，

$∴ s i n ∠ E A D = s i n ∠ A E F = \frac{A F}{A E} = \frac{3}{3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ；

②如图，过点B作 $B N ⊥ M Q$ 于点 $N$ ，连接BM，CM，

$∵$ 四边形ABCD是正方形， $A B = 6 c m$ ，

$∴ B C = A B = 6 c m$ ， $B D = A C = \sqrt{2} A B = 6 \sqrt{2} c m$ ， $O A = O B = O C = 3 \sqrt{2} c m$ ， $A C ⊥ B D$ ，

$∵ M Q ⊥ A C$ ， $B N ⊥ M Q$ ，

$∴ ∠ N Q O = 90 ° = ∠ B N Q = ∠ B O Q$ ，

$∴$ 四边形OBNQ是矩形，

$∴ B N = O Q$ ， $N Q = O B = 3 \sqrt{2} c m$ ，

设 $C Q = x | c m$ ， $M Q = y c m$ ，则 $B N = O Q = O C - C Q = (3 \sqrt{2} - x) c m$ ， $M N = M Q - N Q = (y - 3 \sqrt{2}) c m$ ， $A Q = O A + O Q = (6 \sqrt{2} - x) c m$ ，

$∴ 2 M Q + A Q = 2 y + 6 \sqrt{2} - x$ ，

在 $R t △ C M Q$ 中， $C M^{2} = C Q^{2} + M Q^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，

$∵ B C$ 为 $⊙ P$ 的直径，

$∴ ∠ B M C = 90 °$ ，

在 $R t △ B M C$ 中， $B M^{2} = B C^{2} - C M^{2}$ ，

在 $R t △ B M N$ 中， $B M^{2} = M N^{2} + B N^{2}$ ，

$∴ B C^{2} - C M^{2} = M N^{2} + B N^{2}$ ，即 $6^{2} - (x^{2} + y^{2}) = (y - 3 \sqrt{2})^{2} + (3 \sqrt{2} - x)^{2}$ ，

整理得： $x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y = 0$ ，

设 $a = 2 y - x$ ，则 $x = 2 y - a$ ，

$∴ 2 M Q + A Q = a + 6 \sqrt{2}$ ，

$∴ (2 y - a)^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} (2 y - a) - 3 \sqrt{2} y = 0$ ，

$∴ 5 y^{2} - (4 a + 9 \sqrt{2}) y + a^{2} + 3 \sqrt{2} a = 0$ ，

$∵$ 这个关于 $y$ 的一元二次方程有实数根，

$∴$ 方程根的判别式 $[- (4 a + 9 \sqrt{2})]^{2} - 4 \times 5 (a^{2} + 3 \sqrt{2} a) \geq 0$ ，即 $2 a^{2} - 6 \sqrt{2} a - 81 \leq 0$ ，

解方程 $2 a^{2} - 6 \sqrt{2} a - 81 = 0$ ，得： $a = \frac{3 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5}}{2}$ 或 $a = \frac{3 \sqrt{2} - 6 \sqrt{5}}{2}$ ，

$∴$ 关于 $a$ 的不等式 $2 a^{2} - 6 \sqrt{2} a - 81 \leq 0$ 的解集为 $\frac{3 \sqrt{2} - 6 \sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{3 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5}}{2}$ ，

$∴ \frac{15 \sqrt{2} - 6 \sqrt{5}}{2} \leq a + 6 \sqrt{2} \leq \frac{15 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5}}{2}$ ，即 $\frac{15 \sqrt{2} - 6 \sqrt{5}}{2} \leq 2 M Q + A Q \leq \frac{15 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5}}{2}$ ，

$∴ 2 M Q + A Q$ 的最小值为 $\frac{15 \sqrt{2} - 6 \sqrt{5}}{2}$ ．

广东省广州市天河外国语学校2023年中考三模数学试卷