解：如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，

①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，

∴90°-x+2x+x=180°，

∴x=45°，

∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；

②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，

得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，

设AD=a，则AP= $\sqrt{3} a$

∵△BPD∽△CPA，

∴ $\frac{B D}{A C} = \frac{P D}{P A}$ ，即 $\frac{2 - a}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}} a$ ，

解得 $a = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$ ，

如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，

∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，

设AD=a，则BD=2-a， $B P = 2 \sqrt{2} - (2 - a ） = 2$ ，AC=2，

$2 \sqrt{2} - （ 2 - a ） = 2$ ，

解得a= $4 - 2 \sqrt{2}$ ，

如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，

∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，

在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，

解得x=45°，不可能成立．

综上所述．AD的长为1或 $\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $4 - 2 \sqrt{2}$

2023年浙教版数学九年级上册第四章 相似三角形 章末检测（B卷）

2023年浙教版数学九年级上册第四章相似三角形章末检测（B卷）