解：①：选择条件①当点F与点C重合时，如（图2），解答如下：

过点G作 $G P ⊥ B C$ 于点P，

则 $A G = P G$ ， $B A = B P$ ，

由（2）得 $A B = A E$ ，

$∴ A E = B P$ ，

$∵ A D = B C$ ，

$∴ A D - A E = B C - B P$ 即 $D E = P C$ ，

$∵ A C ⊥ A B$ ， $A B = A C$ ，

$∴ ∠ G C P = ∠ C G P = 45 °$ ，

$∴ P G = P C$ ，

$∴ A G = D E$ ，

②：选择问题②当点F在 $D C$ 延长线上，且 $C D = 3 C F$ 时，如（图3），解答如下：

设 $C D = 3 C F = 3 k$ ，则 $A E = A B = A F = 3 k$ ，

$∴ D F = 4 k$ ， $A D = 5 k$ ，

$∴ D E = A D - A E = 2 k$ ，

由（2）得 $D H = D A$ ， $A B = A E = D C$ ，

$∴ C H = D E = 2 k$ ，

$∵ A H ⊥ B E$ ， $A F ⊥ A B$ ， $A B ∥ C D$ ，

$∴ ∠ B A G = ∠ A F H = 90 °$ ， $∠ A B G = ∠ F A H = 90 ° - ∠ B A H$ ，

$∵ A B = A F$ ，

$∴ △ A F H ≌ △ B A G$ ，

$∴ A G = F H = C H - C F = k$ ，

$∴ A G = \frac{1}{2} D E$ ，

③：选择问题③当点F在线段 $C D$ 上时，如（图4），解答如下：

由（2）得 $D H = D A$ ， $A B = A E = D C$ ，

$∴ A D - A E = D H - D C$ ，即 $D E = C H$ ，

$∵ A H ⊥ B E$ ， $A F ⊥ A B$ ， $A B ∥ C D$ ，

$∴ ∠ B A G = ∠ A F H = 90 °$ ， $∠ A B G = ∠ F A H = 90 ° - ∠ B A H$ ，

$∵ A B = A F$ ，

$∴ △ A F H ≌ △ B A G$ ，

$∴ A G = F H = C H + C F = D E + C F$ ．

浙江省丽水市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题