解：如图，设

C E^{'}

交

x

轴于点

M

，

∵ $A (- 4 ， 0)$ ， $C (0 ， - 4)$ ，

∴ $O A = O C = 4$ ，

∵点 $E$ 与点 $A$ 关于原点 $O$ 对称，

∴ $O E = O A = O C = 4$ ，

∵ $∠ A O C = ∠ E O C = 90 °$ ，

∴ $∠ O A C = ∠ O C A = 45 ° = ∠ O C E = ∠ O E C$ ，

∴ $A C = E C$ ，

∵ $C E$ 为圆的直径，

∴ $∠ C E^{'} E = 90 °$ ，

∵平移线段 $A E$ ，使点 $E$ 移动到点 $E^{'}$ ，线段 $A E$ 的对应线段为 $A^{'} E^{'}$ ，

①当点 $E^{'}$ 与点 $O$ 不重合时，

∴ $A^{'} E^{'} = A E$ ， $A^{'} E^{'} ∥ A E$ ，

∴四边形 $A E E^{^{'}} A^{^{'}}$ 是平行四边形，

∴ $A^{'} A ∥ E^{'} E$ ， $A^{'} A = E^{'} E$ ，

∴ $∠ A N E^{'} = ∠ C E^{'} E = 90 °$ ， $∠ M A N = ∠ M E E^{'}$ ，

∴ $∠ A N C = 90 °$ ，

在 $R t △ A N M$ 和 $R t △ C O M$ 中，

∵ $∠ M A N = 90 ° - ∠ A M N$ ， $∠ M C O = 90 ° - ∠ C M O$ ，

∴ $∠ M A N = ∠ M C O$ ，

∵ $∠ O A C = ∠ O C E = 45 °$ ，

∴ $∠ C A N = ∠ E C E^{'}$ ，

又∵ $∠ A N C = ∠ C E^{'} E = 90 °$ ，

在 $△ A N C$ 和 $△ C E^{'} E$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A N C = ∠ C E^{'} E \\ ∠ C A N = ∠ E C E^{'} \\ A C = C E \end{array}$ ，

∴ $△ A N C ≌ △ C E^{'} E (A A S)$ ，

∴ $C N = E E^{'}$ ，

∴ $A A^{'} = C N$ ，

∴ $\frac{A A^{'}}{C N} = 1$ ，

②当点 $E^{'}$ 与点 $O$ 重合时，此时点 $N$ 与点 $O$ 重合，

∴ $A A^{'} = E E^{'} = O E = 4$ ， $C N = C O = 4$ ，

∴ $\frac{A A^{'}}{C N} = \frac{4}{4} = 1$ ，

综上所述， $\frac{A A^{'}}{C N}$ 的值为 $1$ ．

湖南省湘西2023年中考数学真题