解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.

若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：

已知：四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ ， $∠ B = ∠ B^{'}$ ， $∠ C = ∠ C^{'}$ .

求证：四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

证明：∵ $∠ A = ∠ A^{'}$ ， $∠ B = ∠ B^{'}$ ， $∠ C = ∠ C^{'}$ ，

∴ $∠ D = 360 ° - ∠ A - ∠ B - ∠ C = 360 ° - ∠ A^{'} - ∠ B^{'} - ∠ C^{'} = ∠ D^{'}$ .

连接 $B D$ 、 $B^{'} D^{'}$ ，

∵ $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ ，

∴ $△ A B D ∽ △ A^{'} B^{'} D^{'}$ ，

∴ $∠ 1 = ∠ 5$ ， $\frac{B D}{B^{'} D^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}}$ ，

∴ $∠ 3 = ∠ A D C - ∠ 1 = ∠ A^{'} D^{'} C^{'} - ∠ 5 = ∠ 7$ ，

又∵ $∠ C = ∠ C^{'}$ ，

∴ $△ B C D ∽ △ B^{'} C^{'} D^{'}$ ，

∴ $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{B D}{B^{'} D^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ，

综上，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

2023-2024学年初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 同步分层训练培优卷(冀教版)

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