解：①∵M是CP中点，

∴ $B M = M C = \frac{1}{2} P C$ ，

若 $0 < x \leq 6$ ，如图，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，

∵ $A P = x$ ，

∴ $P B = 6 - x$ ，

∴ $P C = \sqrt{6^{2} + {(6 - x)}^{2}}$ ，

∵ $\frac{D C}{M C} = \frac{D A}{M B}$ ，

∴ $D C = D A = D P = \frac{\sqrt{2}}{2} P C = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{6^{2} + {(6 - x)}^{2}}$ ，

∵ $D E ⊥ A B$ ，

∴ $A E = E P = \frac{1}{2} x$ ，

∴ $D E = \sqrt{D A^{2} - A E^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} x^{2} - 6 x + 36} = 6 - \frac{1}{2} x$ ，

∴ $S_{△ A D P} = \frac{1}{2} A P \cdot D E = \frac{1}{2} x \cdot (6 - \frac{1}{2} x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ ；

若 $6 < x < 12$ ，如图，过点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，

$B P = x - 6$ ， $P C = \sqrt{6^{2} + {(x - 6)}^{2}}$ ，

$D C = D A = D P = \frac{\sqrt{2}}{2} P C = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{6^{2} + {(x - 6)}^{2}}$ ，

$A E = E P = \frac{1}{2} x$ ，

$D E = \sqrt{D A^{2} - A E^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} x^{2} - 6 x + 36} = 6 - \frac{1}{2} x$ ，

∴ $S_{△ A D P} = \frac{1}{2} A P \cdot D E = \frac{1}{2} x \cdot (6 - \frac{1}{2} x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ ，

综上： $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ ；

②当点 $D^{'}$ 在 $△ A P C$ 内部时， $0 < x < 6$ ，点P越往右，点 $D^{'}$ 离AC越近，当点 $D^{'}$ 在PC上时，过点P作 $P N ⊥ A C$ 于点N，

∴ $∠ D C A = ∠ A C P = ∠ P C B$ ，

∴CP为 $∠ A C B$ 的角平分线，

∴ $P A = P B$ ，

∵ $S_{△ A B C} = S_{△ A P C} + S_{△ B P C} = \frac{1}{2} A C \cdot P N + \frac{1}{2} B C \cdot P B = 3 \sqrt{2} P N + 3 P N = 18$ ，

∴ $P N = P B = 6 \sqrt{2} - 6$ ，

∴ $A P = A B - P B = 12 - 6 \sqrt{2}$ ，

当 $12 - 6 \sqrt{2} < x < 6$ 时，点 $D^{'}$ 在 $△ A P C$ 内部，

则根据 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ ，求出 $18 \sqrt{2} - 18 < y < 9$

2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 相似三角形的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)

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