∵正方形

O A B C

，

∴ $∠ B C A = ∠ O C A = 45 °$ ，

∵直线 $y = x$ ，

∴ $∠ F O N = 45 °$ ，

∴ $∠ B C A = ∠ F O N = 45 °$ ，

∴O、C、F、N四点共圆，

∴ $∠ O C N = ∠ F O N = 45 °$ ，

∴ $∠ O F N = ∠ F O N = 45 °$ ，

∴ $Δ F O N$ 为等腰直角三角形，

∴ $F N = O N$ ， $∠ F N O = 90 °$ ，

过点N作 $G Q ⊥ B C$ 于点G，交 $O A$ 于点Q，

∵ $B C ∥ O A$ ，

∴ $G Q ⊥ O A$ ，

∵ $∠ F N O = 90 °$ ，

∴ $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ，

∵ $∠ 1 + ∠ 3 = 90 °$ ，

∴ $∠ 2 = ∠ 3$ ，

∴ $△ F G N ≌ △ N Q O (A A S)$

∴ $G N = O Q ， F G = Q N$ ，

∵ $G Q ⊥ B C$ ， $∠ F C O = ∠ C O Q = 90 °$ ，

∴四边形 $C O Q G$ 为矩形，

∴ $C G = O Q ， C O = Q G$ ，

∴ $S_{1} = S_{Δ O F N} = \frac{1}{2} O N^{2} = \frac{1}{2} (O Q^{2} + N Q^{2}) = \frac{1}{2} (G N^{2} + N Q^{2}) = \frac{1}{2} G N^{2} + \frac{1}{2} N Q^{2}$ ，

$S_{2} = S_{Δ C O F} = \frac{1}{2} C F \cdot C O = \frac{1}{2} (G C - F G) (G N + N Q) = \frac{1}{2} (G N^{2} - N Q^{2}) = \frac{1}{2} G N^{2} - \frac{1}{2} N Q^{2}$ ，

∴ $S = S_{1} - S_{2} = N Q^{2}$ ，

∵ $∠ O A C = 45 °$ ，

∴ $△ A Q N$ 为等腰直角三角形，

∴ $N Q = \frac{\sqrt{2}}{2} A N = \frac{\sqrt{2}}{2} n$ ，

∴ $S = N Q^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2} n)}^{2} = \frac{1}{2} n^{2}$

广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编12 相似