解：设

∠ A = α

，

∵ $∠ A + ∠ A B C = ∠ A B C + ∠ D B C = ∠ A B C + ∠ N = 90 °$ ，

∴ $∠ A = ∠ D B C = ∠ N = α$ ．

如图，连接 $O M$ ．

∴在 $R t △ O F M$ 中， $O F = \sqrt{O M^{2} - F M^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}}$ ．

∴ $B F = B O + O F = 1 + \sqrt{1 - x^{2}}$ ， $A F = O A - O F = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ ．

∴在 $R t △ A F E$ 中， $E F = A F \cdot t a n α = (1 - \sqrt{1 - x^{2}}) \cdot t a n α$ ， $A E = \frac{A F}{c o s α} = \frac{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}{c o s α}$ ．

在 $R t △ A B C$ 中， $B C = A B \cdot s i n α = 2 s i n α$ ．（∵ $r = 1$ ，∴ $A B = 2$ ）

$A C = A B \cdot c o s α = 2 c o s α$ ．

在 $R t △ B F N$ 中， $B N = \frac{B F}{s i n α} = \frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{s i n α}$ ， $F N = \frac{B F}{t a n α} = \frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{t a n α}$ ．

∴ $y = F E \cdot F N \cdot \sqrt{\frac{1}{B C \cdot B N} + \frac{1}{A E \cdot A C}}$

$= x^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2 + 2 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 - 2 \sqrt{1 - x^{2}}}}$

$= x^{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - 2 \sqrt{1 - x^{2}} + 2 + 2 \sqrt{1 - x^{2}}}{4 - 4 (1 - x^{2})}}$

$= x^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x^{2}}}$

$= x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

$= x$ ．

即 $y = x$ ．

∵ $F M ⊥ A B$ ，

∴ $F M$ 最大值为F与O重合时，即为1．

∴ $0 < x \leq 1$ ．

综上， $y = x (0 < x \leq 1)$ ．

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：圆