证明：①连接

A H

，

∵ $A ， H$ 分别是 $E D$ 和 $E C$ 的中点，

∴ $A H$ 为 $△ E D C$ 的中位线，

∴ $A H ∥ D C$ ，

∴ $∠ E A H = ∠ E D C = 90 °$ ，

又∵ $D F ⊥ A B$ ，

∴ $∠ A F D = 90 °$ ，

又∵ $H G ∥ A B$ ，

∴ $∠ F A D = ∠ A M H$ ，

在 $△ A F D$ 和 $△ M A H$ 中， $∠ A F D = ∠ M A H = 90 ° ， ∠ F A D = ∠ A M H$ ，

∴ $△ A F D ∽ △ M A H$ ，

∴ $\frac{A F}{A M} = \frac{A D}{M H}$ ，

∴ $A F \cdot M H = A M \cdot A D$ ，

又∵ $A E = A D$ ，

∴ $A F \cdot M H = A M \cdot A E$ ；

②在 $△ A M H$ 和 $△ D A C$ 中， $∠ M A H = ∠ A D C = 90 °$ ，

∵ $A B = A C$ ，

∴ $∠ A B C = ∠ A C B$ ，

∵ $D F ⊥ A B$ ，

∴ $∠ F A D + ∠ A D F = 90 °$ ，

∵ $∠ A B D + ∠ F A D = 90 °$ ，

∴ $∠ A B D = ∠ A D F$ ，

∵ $A B ∥ H G$ ，

∴ $∠ A F D = ∠ H G D = 90 °$ ，

∵ $∠ A M H = ∠ G M D$ ，

∴ $∠ A H M = ∠ A D F$ ，

∴ $∠ A B D = ∠ A D F = ∠ A H M$ ，

∴ $∠ A H M = ∠ A C B$ ，

∴ $△ A M H ∽ △ D A C$ ，

又∵A、H分别为 $E D$ 和 $E C$ 中点，

∴ $A H$ 为 $△ E D C$ 的中位线，

∴ $\frac{A M}{A D} = \frac{A H}{D C} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $A M = \frac{1}{2} A D$ ，即 $M$ 为 $A D$ 中点，

又∵ $A F ∥ G H$ ，

∴ $G$ 为 $F D$ 中点，

∴ $G F = G D$ .

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线