解：存在，

∵ $D$ 为 $O C$ 的中点，

∴ $D (0 ， 2)$ ，

∴ $O D = 2$ ，

∵ $B (4 ， 0)$ ，

∴ $O B = 4$ ，

在 $R t △ B O D$ 中， $t a n ∠ O B D = \frac{O D}{O B} = \frac{1}{2}$ ，

∵ $t a n ∠ Q D B = \frac{1}{2} = t a n ∠ O B D$ ，

∴ $∠ Q D B = ∠ O B D$ ，

①当 $Q$ 点在 $D$ 点上方时：

过点 $D$ 作 $D Q ∥ O B$ ，交抛物线与点 $Q$ ，则： $∠ Q D B = ∠ O B D$ ，此时 $Q$ 点纵坐标为2，

设 $Q$ 点横坐标为 $t$ ，

则： $t^{2} - 5 t + 4 = 2$ ，

解得： $t = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ ，

∴ $Q (\frac{5 + \sqrt{17}}{2} ， 2)$ 或 $Q (\frac{5 - \sqrt{17}}{2} ， 2)$ ；

②当点 $Q$ 在 $D$ 点下方时：设 $D Q$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，

则： $D E = B E$ ，

设 $E (p ， 0)$ ，

则： $D E^{2} = O E^{2} + O D^{2} = p^{2} + 4$ ， $B E^{2} = {(4 - p)}^{2}$ ，

∴ $p^{2} + 4 = {(4 - p)}^{2}$ ，解得： $p = \frac{3}{2}$ ，

∴ $E (\frac{3}{2} ， 0)$ ，

设 $D E$ 的解析式为： $y = k x + q$ ，

则： ${\begin{array}{l} q = 2 \\ \frac{3 k}{2} + q = 0 \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} q = 2 \\ k = - \frac{4}{3} \end{array}$ ，

∴ $y = - \frac{4}{3} x + 2$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = - \frac{4}{3} x + 2 \\ y = x^{2} - 5 x + 4 \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{10}{9} \end{array}$ ，

∴ $Q (3 ， - 2)$ 或 $Q (\frac{2}{3} ， \frac{10}{9})$ ；

综上： $Q (\frac{5 + \sqrt{17}}{2} ， 2)$ 或 $Q (\frac{5 - \sqrt{17}}{2} ， 2)$ 或 $Q (3 ， - 2)$ 或 $Q (\frac{2}{3} ， \frac{10}{9})$ ．

2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数