解：如图所示，延长

B E

交

A D

于点

F

，

∵ $∠ E A B = ∠ E B A$ ， $∠ E A B^{'} = ∠ E B^{'} A$ ，

∴ $∠ M E B = 2 ∠ E A B$ ， $∠ M E B^{'} = 2 ∠ E A B^{'}$ ，

∴ $∠ B E B^{'} = ∠ M E B + ∠ M E B^{'} = 2 ∠ E A B^{'} + 2 ∠ E A B = 2 ∠ B A B^{'} = 90 °$ ，

∵ $∠ D E B^{'} = 45 °$ ，

∴ $∠ D E F = ∠ B^{'} E F - ∠ D E B^{'} = 45 °$ ，

∵ $△ E A D ≌ △ E B C$ ，

∴ $∠ A E D = ∠ B E C$ ，

∵ $∠ A E F = ∠ B E M$ ，

∴ $∠ D E F = ∠ C E M = 45 °$ ，

∵ $∠ A C M = 45 °$ ，

∴ $∠ C E M = ∠ A C M$ ，

∵ $∠ C M E = ∠ A M C$ ，

∴ $△ C M E ∽ △ A M C$ ，

∴ $\frac{C M}{A M} = \frac{E M}{C M}$ ，

∴ $C M^{2} = A M \cdot E M$ ，

∵ $E M = \frac{1}{2} A M$ ，

∴ $C M^{2} = \frac{1}{2} A M^{2}$ ，

设 $B M = x$ ，则 $C M = 1 - x$ ， $A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} = 1 + x^{2}$ ，

∴ ${(1 - x)}^{2} = \frac{1}{2} (1 + x^{2})$ ，

解得： $x_{1} = 2 - \sqrt{3}$ ， $x_{2} = 2 + \sqrt{3}$ （不合题意，舍去），

∴ $B M = 2 - \sqrt{3}$ ．

2023年四川省中考数学真题分类汇编：三角形（2）