解：过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，

∵△ACD是等边三角形，

$∴ C G = \frac{\sqrt{3}}{2} A C = \sqrt{3} ， A G = \frac{1}{2} A D = 1$

$∴ F G = \sqrt{C F^{2} - C G^{2}} = \sqrt{(\sqrt{19})^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = 4$

∵∠FCE=∠ACD=60°

∴∠FCA=∠ECD

又∵CA=CD，CF=CE，

∴△FCA≌△ECD

∴AF= DE

∵QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线

$∴ Q M = \frac{1}{2} A F ， Q N = \frac{1}{2} D E$

∴QM=QN

∵∠F4C=∠EDC=180°-∠CAD=120°

∴∠FDE= 120°-∠ADC=60°

∵QN// DE

∴∠FNQ=∠FDE=60°

∵QM// AF

∴∠MQN=∠FNQ=60°

∴△QMN是等边三角形，

$∴ M N = Q M = \frac{1}{2} A F = \frac{3}{2}$

浙江省湖州市德清县2022-2023学年八年级下学期期末调研测试数学试卷