解：

①

如图

②

中，

$∵ B G / / C D$ ，

$∴ ∠ G B C = ∠ D C N$ ，

$∵ ∠ D C N = ∠ E C N - ∠ E C D = 75 ° - 45 ° = 30 °$ ，

$∴ ∠ G B C = 30 °$ ，

$∴ 3 t = 30$ ，

$∴ t = 10 s$ ．

$∴$ 在旋转过程中，若边 $B G / / C D$ ， $t$ 的值为 $10 s$ ；

$②$ 如图 $③$ 中，当 $B G / / H K$ 时，延长 $K H$ 交 $M N$ 于 $R$ ．

$∵ B G / / K R$ ，

$∴ ∠ G B N = ∠ K R N$ ，

$∵ ∠ Q E K = 60 ° + 2 t$ ， $∠ K = ∠ Q E K + ∠ K R N$ ，

$∴ ∠ K R N = 90 ° - (60 ° + 2 t) = 30 ° - 2 t$ ，

$∴ 3 t = 30 ° - 2 t$ ，

$∴ t = 6 s$ ．

如图 $③ - 1$ 中，当 $B G / / H K$ 时，延长 $H K$ 交 $M N$ 于 $R$ ．

$∵ B G / / K R$ ，

$∴ ∠ G B N + ∠ K R M = 180 °$ ，

$∵ ∠ Q E K = 60 ° + 2 t$ ， $∠ E K R = ∠ P E K + ∠ K R M$ ，

$∴ ∠ K R M = 90 ° - (180 ° - 60 ° - 2 t) = 2 t - 30 °$ ，

$∴ 3 t + 2 t - 30 ° = 180 °$ ，

$∴ t = 42 s$ ．

综上所述，满足条件的 $t$ 的值为 $6 s$ 或 $42 s$ ．

浙江省金华市东阳市江北初级中学等四校联考2022-2023学年七年级（下）期末数学试卷