解：∵

A (2 ， 3)

在双曲线

y = \frac{k}{x}

上，

∴ $k = 6$ ．

设 $C (a ， \frac{6}{a})$ （ $a > 0$ ）．

过点 $A$ ，C分别作 $x$ 轴的垂线，交 $x$ 轴于点 $E$ ， $F$ ．

∵ $A E ⊥ x$ 轴，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，

∴ $S_{△ A O E} = 3$ ．

同理可得， $S_{△ C O F} = 3$ ．

∵平行四边形 $A D B C$ 的面积为18，

∴ $S_{△ A O C} = 4.5$ ．

①当点 $C$ 在 $O A$ 下方时，如图．

∵ $S_{四边形 A O F C} = S_{△ A O C} + S_{△ C O F} = S_{△ A O E} + S_{梯形 A E F C}$ ，

∴ $S_{梯形 A E F C} = S_{△ A O C} = 4.5$ ．

∵ $A (2 ， 3)$ ， $C (a ， \frac{6}{a})$ ，

∴ $S_{梯形 A E F C} = 4.5 = (3 + \frac{6}{a}) (a - 2) \div 2$ ．

化简得 $3 a - \frac{12}{a} = 9$ ，解得 $a_{1} = 4$ ， $a_{2} = - 1$ （舍去）

∴ $a = 4$ ，此时 $C (4 ， \frac{3}{2})$ ．

②当点 $C$ 落在 $O A$ 上方时，如图．

∵ $S_{四边形 A E O C} = S_{△ A O C} + S_{△ A O E} = S_{△ C O F} + S_{梯形 A E F C}$ ，

∴ $S_{梯形 A E F C} = S_{△ A O C} = 4.5$ ．

∵ $A (2 ， 3)$ ， $C (a ， \frac{6}{a})$ ，

∴ $S_{梯形 A E F C} = 4.5 = (3 + \frac{6}{a}) (2 - a) \div 2$ ．

化简得 $- 3 a + \frac{12}{a} = 9$ ．

解得 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 4$ （舍去）．

∴ $a = 1$ ，此时 $C (1 ， 6)$ ．

综上所述， $C (4 ， \frac{3}{2})$ 或 $(1 ， 6)$ ．

浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题