解：如图所示，连接

O C

，

∵ $t a n E = \frac{O C}{C E} = \frac{3}{4}$ ， $B E = 4$ ，

设 $O C = 3 a$ ，则 $C E = 4 a$

∴ $O E = 5 a$ ，

∴ $s i n E = \frac{O C}{O E} = \frac{3}{5}$ ， $c o s E = \frac{4}{5}$

即 $\frac{3}{5} = \frac{O C}{O C + 4}$

解得： $O C = 6$ ，

∵ $O C ⊥ D E$ ，

∴ $∠ B C E + ∠ O C B = 90 °$

∵ $O C = O B$

∴ $∠ O C B = ∠ O B C$ ，

∴ $∠ B C E + ∠ O B C = 90 °$ ，

∵ $A B$ 是直径，

∴ $∠ A C B = 90 °$ ，

∴ $∠ C A B + ∠ A B C = 90 °$ ，

∴ $∠ B C E = ∠ C A E$ ，

又 $∠ E = ∠ E$ ，

∴ $△ B C E ∽ △ C A E$ ，

∴ $\frac{C E}{A E} = \frac{B E}{C E}$ ， $\frac{C B}{C A} = \frac{C E}{A E}$ ，

∴ $C E^{2} = B E \times A E$ ，

∴ $C E^{2} = 4 \times (4 + 12) = 64$ ，

解得： $C E = 8$ ，

∴ $\frac{C B}{C A} = \frac{C E}{A E}$ $= \frac{8}{12 + 4} = \frac{1}{2}$

∴ $t a n ∠ C A B = \frac{B C}{A C} = \frac{1}{2}$ ，

∵ $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，

∴ $B F ⊥ A F$ ，

∵ $D E ⊥ A D$ ，

∴ $D C ∥ F B$

∴ $∠ F B A = ∠ E$ ，

∴ $t a n ∠ F B A = t a n ∠ E$ ，

∴ $\frac{A F}{F B} = \frac{O C}{C E} = \frac{6}{8}$ $= \frac{3}{4}$ ，

设 $A F = 3 k$ ，则 $F B = 4 k$ ，

∴ $A B = 5 k$ ，

∵ $A B = 12$ ，

$∴ k = \frac{12}{5}$ ，

∴ $A F = \frac{36}{5}$ ，

∵ $F G ⊥ A B$ ，

∴ $∠ A F G = 90 ° - ∠ G F B = ∠ F B A = ∠ E$

∴ $F G = A F \times c o s E = \frac{4}{5} A F = \frac{4}{5} \times \frac{36}{5} = \frac{144}{25}$ ，

∴ $A G = \frac{3}{5} A F = \frac{108}{25}$ ，

∵ $t a n ∠ C A B = t a n ∠ H A G = \frac{1}{2} = \frac{H G}{A G}$ ，

∴ $H G = \frac{1}{2} A G = \frac{54}{25}$ ，

∴ $F H = F G - H G = \frac{144}{25} - \frac{54}{25} = \frac{90}{25} = \frac{18}{5}$ ．

2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：圆（2）