解：如图所示，

在 $C D$ 取得最小值的条件下，即 $C D ⊥ A B$ ，

设 $A B = 4 a$ ，则 $B C = 2 a$ ， $A C = 2 \sqrt{3} a$ ，

∴ $C D = \frac{A C \times B C}{A B} = \frac{2 \sqrt{3} a \times 2 a}{4 a} = \sqrt{3} a$ ， $B D = \frac{1}{2} B C = a$ ，

∵将 $△ B E M$ 沿 $B M$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ B N M$ ．

∴ $B E = B N$

∴点 $N$ 在以 $B$ 为圆心， $a$ 为半径的圆上运动，

取 $A B$ 的中点 $S$ ，连接 $S P$ ，

则 $S P$ 是 $△ A B N$ 的中位线，

∴ $P$ 在半径为 $\frac{1}{2} a$ 的 $⊙ S$ 上运动，

当 $C P$ 取最大值时，即 $P ， S ， C$ 三点共线时，此时如图，过点 $P$ 作 $P T ⊥ A C$ 于点 $T$ ，过点 $N$ 作 $N R ⊥ A C$ 于点 $R$ ，

∵ $S$ 是 $A B$ 的中点， $∠ A B C = 60 °$

∴ $S C = S B = B C$ ，

∴ $△ B C S$ 是等边三角形，

则 $∠ P C B = 60 °$ ，

∴ $∠ P C A = ∠ A C B - ∠ B C P = 30 °$ ，

∵ $B C = 2 a$ ， $A B = 4 a$ ，

∴ $C S = B C = 2 a$ ， $P S = \frac{1}{2} a$

∴ $P C = \frac{5}{2} a$ ， $P T = P C \times s i n ∠ P C T = \frac{1}{2} P C = \frac{5}{4} a$ ， $T C = \sqrt{3} P T = \frac{5}{4} \sqrt{3} a$

∵ $A C = 2 \sqrt{3} a$ ，

∴ $A T = \frac{3}{4} \sqrt{3} a$ ，

如图所示，连接 $P Q$ ，交 $N R$ 于点 $U$ ，则四边形 $P U R T$ 是矩形，

∴ $P U ∥ A R$ ， $P$ 是 $A N$ 的中点，

∴ $\frac{N U}{U R} = \frac{N P}{P A} = 1$

即 $P D$ 是 $△ A N R$ 的中位线，同理可得 $P T$ 是 $△ A N R$ 的中位线，

∴ $N U = U R = P T = \frac{5}{4} a$ ， $P U = \frac{1}{2} A R = A T = \frac{3}{4} \sqrt{3} a$

∵ $△ B C S$ 是等边三角形，将 $△ B C P$ 沿 $B C$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ B C Q$ ，

∴ $∠ Q C P = 2 ∠ B C P = 120 °$

∴ $P Q = \sqrt{3} Q C = \sqrt{3} P C = \frac{5}{2} \sqrt{3} a$

则 $U Q = P Q - P U = \frac{5}{2} \sqrt{3} a - \frac{3}{4} \sqrt{3} a = \frac{7}{4} \sqrt{3} a$

在 $R t △ N U Q$ 中， $N Q = \sqrt{N U^{2} + U Q^{2}} = \sqrt{{(\frac{5}{4} a)}^{2} + {(\frac{7}{4} \sqrt{3} a)}^{2}} = \frac{\sqrt{43}}{2} a$

∴ $\frac{N Q}{C P} = \frac{\frac{\sqrt{43}}{2} a}{\frac{5}{2} a} = \frac{\sqrt{43}}{5}$ ．

2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：三角形（10）