∵

A D ⊥ B C

，

E F ⊥ A D

，

∴ $E F ∥ B C$ ，

∴ $△ A E F ∽ △ A D C$ ，

∵ $A D = 10 ， A E = 6$ ，

∴ $\frac{E F}{C D} = \frac{A E}{A D} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ，

∴ $C D = \frac{5}{3} E F$ ，则 $B D + \frac{5}{3} E F = B D + C D = B C$ ；

设 $E F = 3 k$ ， $C D = 5 k$ ，

过点D作 $D H ⊥ A C$ 于H，如图③，则 $∠ C H D = ∠ A D C = 90 °$ ，

∴ $∠ C D H = ∠ D A C = 90 ° - ∠ C$ ；

∵ $E F ∥ B C$ ，

∴ $∠ C D F = ∠ D F E = 2 ∠ D A C = 2 ∠ C D H$ ，

∴ $∠ C D H = ∠ F D H$ ，

又∵ $D H = D H$ ， $∠ C H D = ∠ F H D = 90 °$ ，

∴ $△ C H D ≌ △ F H D (A S A)$ ，

∴ $D F = C D = 5 k$ ，

在 $R t △ E F D$ 中，由勾股定理得 $E F^{2} + D E^{2} = D F^{2}$ ，

∴ ${(3 k)}^{2} + 4^{2} = {(5 k)}^{2}$ ，解得 $k = 1$ ，

∴ $E F = 3$ ， $D F = C D = 5$ ，

在 $R t △ A D C$ 中， $A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{1 0^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{5}$ ，

在图③中，过B作 $B G ⊥ A C$ 于G，则 $∠ B G A = ∠ B G C = ∠ C H D = 90 °$ ，

∴ $B G ∥ D H$ ，

∴ $∠ C B G = ∠ C D H = ∠ D A C$ ，

∴ $s i n ∠ C B G = s i n ∠ D A C = \frac{C D}{A C} = \frac{5}{5 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $c o s ∠ C B G = c o s ∠ D A C = \frac{A D}{A C} = \frac{10}{5 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∵ $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A G B = 90 °$ ，

∴ $∠ A B G = 90 ° - ∠ B A C = 45 ° = ∠ B A C$ ，则 $A G = B G$ ，

在 $R t △ B C G$ 中， $B G = B C \cdot c o s ∠ C B G = \frac{2 \sqrt{5}}{5} B C$ ， $C G = B C \cdot s i n ∠ C B G = \frac{\sqrt{5}}{5} B C$ ，

∵ $A G + C G = B G + C G = A C$ ，

∴ $\frac{2 \sqrt{5}}{5} B C + \frac{\sqrt{5}}{5} B C = 5 \sqrt{5}$ ，则 $B C = \frac{25}{3}$ ，

∴ $B D + \frac{5}{3} E F = B C = \frac{25}{3}$ ．

2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：相交线与平行线（4）