解：①∵抛物线解析式为

y = - x^{2} - 4 x + 5

，点C是抛物线与y轴的交点，

∴ $C (0 ， 5)$ ，

设直线 $B C$ 的解析式为 $y = k x + b_{1}$ ，

∴ ${\begin{array}{l} - 5 k + b_{1} = 0 \\ b_{1} = 5 \end{array}$ ，

∴ ${\begin{array}{l} k = 1 \\ b = 5 \end{array}$ ，

∴直线 $B C$ 的解析式为 $y = x + 5$ ，

∵直线 $x = m (- 5 < m < 0)$ 与抛物线交于点 $E$ ，与直线 $B C$ 交于点 $F$

∴ $E (m ， - m^{2} - 4 m + 5) ， F (m ， m + 5)$ ，

∴ $E F = - m^{2} - 4 m + 5 - (m + 5)$

$= - m^{2} - 5 m$

$= - {(m + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$ ，

∵ $- 1 < 0$ ，

∴当 $m = - \frac{5}{2}$ 时， $E F$ 有最大值，最大值为 $\frac{25}{4}$ ；

②设直线 $x = m$ 与x轴交于H，

∴ $B H = m + 5$ ， $H F = m + 5$ ，

∴ $B H = H F$ ，

∴ $△ B H F$ 是等腰直角三角形，

∴ $∠ E F C = ∠ B F H = 45 °$ ；

如图3-1所示，当 $E C = F C$ 时，

过点C作 $C G ⊥ E F$ 于G，则 $G (m ， 5)$

∴点G为 $E F$ 的中点，

由（2）得 $E (m ， - m^{2} - 4 m + 5) ， F (m ， m + 5)$ ，

∴ $\frac{- m^{2} - 4 m + 5 + m + 5}{2} = 5$ ，

∴ $m^{2} + 3 m = 0$ ，

解得 $m = - 3$ 或 $m = 0$ （舍去），

∴ $E (- 3 ， 8)$ ；

如图3-2所示，当 $E F = E C$ 时，则 $△ E F C$ 是等腰直角三角形，

∴ $∠ F E F = 90 °$ ，即 $C E ⊥ E F$ ，

∴点E的纵坐标为5，

∴ $- m^{2} - 4 m + 5 = 5$ ，

解得 $m = - 4$ 或 $m = 0$ （舍去），

∴ $E (- 4 ， 5)$

如图3-3所示，当 $E F = C F$ 时，过点C作 $C G ⊥ E F$ 于G，

同理可证 $△ C F G$ 是等腰直角三角形，

∴ $F G = C G = - m$ ，

∴ $C F = \sqrt{2} C G = - \sqrt{2} m$ ，

∴ $- m^{2} - 5 m = - \sqrt{2} m$ ，

∴ $m^{2} + (5 - \sqrt{2}) m = 0$ ，

解得 $m = \sqrt{2} - 5$ 或 $m = 0$ （舍去），

∴ $E F = C F = - \sqrt{2} \times (\sqrt{2} - 5) = 5 \sqrt{2} - 2$ ， $H F = \sqrt{2}$ ，

∴ $H E = 6 \sqrt{2} - 2$ ，

∴ $E (\sqrt{2} - 5 ， 6 \sqrt{2} - 2)$

综上所述，点E的坐标为 $(- 3 ， 8)$ 或 $(- 4 ， 5)$ 或 $(\sqrt{2} - 5 ， 6 \sqrt{2} - 2)$

2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：一次方程（4）