解：①证明：如图，

∵菱形 $A B C D$

∴ $A D = C D$ ， $A B ∥ C D$ ，

∴ $∠ A D C = 180 ° - ∠ B A D = 180 ° - 60 ° = 120 °$ ，

由旋转可得： $∠ E D F = 120 °$ ， $D F = D E$ ，

∵ $∠ A D E + ∠ C D E = ∠ A D C = 120 °$ ， $∠ A D E + ∠ A D F = ∠ E D F = 120 °$ ，

∴ $∠ A D F = ∠ C D E$ ，

在 $△ A D F$ 和 $△ C D E$ 中，

${\begin{array}{l} A D = C D \\ ∠ A D F = ∠ C D E \\ D F = D E \end{array}$ ，

∴ $△ A D F ≌ △ C D E (S A S)$ ，

②解：四边形 $A B E F$ 是平行四边形．

理由：∵菱形 $A B C D$

∴ $B C = D C$ ， $∠ B C E = ∠ D C E$ ， $A B ∥ C D$ ，

∴ $∠ B A D + ∠ A B E + ∠ C B E = ∠ B A D + ∠ A B C = 180 °$ ，

∵ $B E ∥ A F$

∴ $∠ B A D + ∠ D A F + ∠ A B E = ∠ B A F + ∠ A B E = 180 °$

∴ $∠ C B E = ∠ D A F$ ，

在 $△ B C E$ 和 $△ D C E$ 中，

${\begin{array}{l} B C = D C \\ ∠ B C E = ∠ D C E \\ C E = C E \end{array}$ ，

∴ $△ B C E ≌ △ D C E (S A S)$ ，

∴ $B E = D E$ ， $∠ C B E = ∠ C D E$ ，

由①知 $△ A D F ≌ △ C D E$

∴ $D F = D E$ ， $∠ A D F = ∠ C D E$

∴ $D F = B E$ ，

∵ $∠ C B E = ∠ D A F$ ， $∠ A D F = ∠ C D E$ ， $∠ C B E = ∠ C D E$

∴ $∠ A D F = ∠ D A F$

∴ $A F = D F$

∴ $A F = B E$ ，

∴四边形 $A B E F$ 是平行四边形．

浙江省湖州市南浔区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题