解：点P在

B C

边上运动的过程中，以

P ， A ， D ， E

为顶点的四边形能构成菱形，

理由如下：

①当点P在点E左侧时，如下图，过点 $D$ 作 $D H ⊥ B C$ 于点H，

∵ $C D = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ C = 45 °$ ，

∴ $∠ C D H = 90 ° - ∠ C = 45 °$ ，

∴ $∠ C D H = ∠ C$ ，

∴ $C H = D H$ ，

在 $R t △ C D H$ 中，由勾股定理可得 $C H^{2} + D H^{2} = 2 C H^{2} = C D^{2} = (4 \sqrt{2})^{2} = 32$ ，

∴ $C H = D H = 4$ ，

∵ $E$ 是 $B C$ 的中点， $B C = 12$ ，

∴ $C E = \frac{1}{2} B C = 6$ ，

∴ $E H = C E - C H = 6 - 4 = 2$ ，

∴在 $R t △ D E H$ 中， $D E = \sqrt{E H^{2} + D H^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，

∴ $A D \neq D E$ ，

即此时以 $P ， A ， D ， E$ 为顶点的四边形不能构成菱形；

②当点P在点E右侧时，如下图，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于点H，

由（1）可知，当 $B P = 11$ 时，四边形 $A E P D$ 为平行四边形，

此时 $D H = C H = 4$ ， $C P = B C - B P = 12 - 11 = 1$ ，

∴ $H P = C H - C P = 4 - 1 = 3$ ，

∴在 $R t △ D P H$ 中， $D P = \sqrt{D H^{2} + H P^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ ，

∴ $D P = A D = 5$ ，

∴四边形 $A E P D$ 为菱形.

综上所述，点P在 $B C$ 边上运动的过程中，以 $P ， A ， D ， E$ 为顶点的四边形能构成菱形.

北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》1.菱形的性质与判定（2）