解：①注意到抛物线

C_{2}

最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：

（i）当抛物线 $C_{2}$ 过点 $(0 ， 0)$ 时，如图所示，

此时， $x = 0 ， y = - \frac{1}{4} m^{2} + 1 = 0$ ，解得 $m = 2$ 或 $- 2$ （舍）．

（ii）当抛物线 $C_{2}$ 过点 $(2 ， - 1)$ 时，如图所示，

此时， $x = 2 ， y = - \frac{1}{4} (m - 2)^{2} + 1 = - 1$ ，

解得 $m = 2 + 2 \sqrt{2}$ 或 $2 - 2 \sqrt{2}$ （舍）

综上， $2 \leq m \leq 2 + 2 \sqrt{2}$

②同①考虑满足题意的两种临界情形：

（i）当抛物线 $C_{2}$ 过点 $(0 ， - 1)$ 时，如图所示，

此时， $x = 0 ， y = - \frac{1}{4} m^{2} + 1 = - 1$ ，解得 $m = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$ （舍）．

（ii）当抛物线 $C_{2}$ 过点 $(2 ， 0)$ 时，如图所示，

此时， $x = 2 ， y = - \frac{1}{4} (2 - m)^{2} + 1 = 0$ ，解得 $m = 4$ 或0（舍）．

综上 $2 \sqrt{2} \leq m \leq 4$

如图，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上．

令 $y = - \frac{1}{4} (x - m)^{2} + 1 = 0$ ，解得 $x_{A} = m - 2 ， x_{B} = m + 2$

$∴ H B = m + 2 - m = 2$

$∵ F B = F C$ ，

$∴ F H^{2} + H B^{2} = F G^{2} + G C^{2}$

设 $F H = t$ ，

$∴ t^{2} + 2^{2} = {(\frac{m^{2}}{4} - 1 - t)}^{2} + m^{2}$

$∴ {(\frac{m^{2}}{4} - 1)}^{2} - 2 (\frac{m^{2}}{4} - 1) t + m^{2} - 4 = 0$

$∴ (\frac{m^{2}}{4} - 1) (\frac{m^{2}}{4} - 2 t + 3) = 0$

$∵ m \dots 2 \sqrt{2} ， ∴ \frac{m^{2}}{4} - 1 \neq 0$ ，

$∴ \frac{m^{2}}{4} - 2 t + 3 = 0$ ，即 $t = \frac{m^{2}}{8} + \frac{3}{2}$

$∵ 2 \sqrt{2} \leq m \leq 4$ ．

$∴ \frac{5}{2} \leq t \leq \frac{7}{2}$ ，即 $\frac{5}{2} \leq F H \leq \frac{7}{2}$

$∵ E F = F H + 1$ ，

$∴ \frac{7}{2} \leq E F \leq \frac{9}{2}$

四川省乐山市2023年初中学业水平考试数学试卷