解：依题意，如图所示，延长

A P ， D Q

交于点

R

，

由（2）可知 $△ D C G$ 是等边三角形，

∴ $∠ E D G = 30 °$

∵将 $△ A E G$ 沿 $A G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ A P G$ ，将 $△ D E G$ 沿 $D G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ D Q G$ ，

∴ $∠ P A G = ∠ E A G = 30 °$ ， $∠ Q D G = ∠ E D G = 30 °$

∴ $∠ P A E = ∠ Q D E = 60 °$ ，

∴ $△ A D R$ 是等边三角形，

∴ $∠ Q D C = ∠ A D C - ∠ A D Q = 90 ° - 60 ° = 30 °$

由（2）可得 $R t △ C E D ≌ R t △ C F G$

∴ $D E = G F$ ，

∵ $D E = D Q$ ，

∴ $G F = D Q$ ，

∵ $∠ G B C = ∠ Q D C = 30 °$ ，

∴ $G F ∥ D Q$

∴四边形 $G D Q F$ 是平行四边形，

∴ $Q F = D G = \frac{1}{2} A C = 2$

由（2）可知 $G$ 是 $A C$ 的中点，则 $G A = G D$

∴ $∠ G A D = ∠ G D A = 30 °$

∴ $∠ A G D = 120 °$

∵折叠，

$∴ ∠ A G P + ∠ D G Q = ∠ A G E + ∠ D G E = ∠ A G D = 120 °$ ，

∴ $∠ P G Q = 360 ° - 2 ∠ A G D = 120 °$ ，

又 $P G = G E = G Q$ ，

∴ $P Q = \sqrt{3} P G = \sqrt{3} G Q$ ，

∴当 $G Q$ 取得最小值时，即 $G Q ⊥ D R$ 时， $P Q$ 取得最小值，此时如图所示，

∴ $G Q = \frac{1}{2} G C = \frac{1}{2} D C = 1$ ，

∴ $P Q = \sqrt{3}$ ，

∴ $P Q + Q F = \sqrt{3} + 2$ ．

重庆市2023年中考数学试卷（B卷）