解：存在点 M，使得

△ D C M

和

△ B Q C

相似，如图：

连接 $C M$ ，设 $M (2 ， n)$ ，

∵ $D (2 ， 8)$ ，

∴ $D M = 8 - n$ ，

由题知 $∠ C D M = 45 °$ ， $C D = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，

∵ $C (0 ， 6)$ ， $B (6 ， 0)$ ，

∴ $△ O B C$ 为等腰直角三角形，

∴ $∠ Q B C = 45 °$ ， $B C = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{2}$ ，

∴ $∠ C D M = ∠ Q B C$ ， $B Q = 6 - 2 = 4$ ，

①当 $△ B Q C ∼ △ D C M$ 时，

$\frac{B Q}{C D} = \frac{B C}{D M} = \frac{4}{2 \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{8 - n}$ ，

解得 $n = 2$ ，

∴ $M (2 ， 2)$ ，

②当 $△ B Q C ∼ △ D M C$ 时，

$\frac{B Q}{D M} = \frac{B C}{D C} = \frac{4}{8 - n} = \frac{6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ ，

解得 $n = \frac{20}{3}$ ，

∴ $M (2 ， \frac{20}{3})$ ，

综上所述，点 M 的坐标为 $(2 ， 2)$ 或 $(2 ， \frac{20}{3})$ ．

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