解：在

A B

上取一点E，使

∠ A D E = ∠ B D C

，如图所示：

∵ $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $\tan ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ，

∴ $A C = \tan ∠ A B C \cdot B C = \frac{1}{2} B C$ ，

∴在 $R t △ A C B$ 中， $A B = \sqrt{B C^{2} + {(\frac{1}{2} B C)}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2} B C$ ，

∵ $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{B D}$ ，

∴ $∠ D A B = ∠ D C B$ ，

∵ $∠ A D E = ∠ B D C$ ，

∴ $△ A D E ∽ △ C D B$ ，

∴ $\frac{A D}{C D} = \frac{A E}{C B}$ ，

∴ $A D \cdot C B = C D \cdot A E$ ，

∵ $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{A D}$ ，

∴ $∠ D B A = ∠ D C A$ ，

∵ $∠ A D E - ∠ C D E = ∠ C D B - ∠ C D E$ ，

即 $∠ A D C = ∠ B D E$ ，

∴ $△ B D E ∽ △ C D A$ ，

∴ $\frac{B D}{C D} = \frac{B E}{A C}$ ，

∴ $B D \cdot A C = C D \cdot B E$ ，

∴ $A D \cdot C B + A C \cdot B D = C D \cdot A E + C D \cdot B E = C D \cdot (A E + B E) = C D \cdot A B$ ，

∴ $A B \cdot C D = A C \cdot D B + A D \cdot B C$ ，

∴ $\frac{\sqrt{5}}{2} B C \cdot C D = \frac{1}{2} B C \cdot D B + A D \cdot B C$ ，

∴ $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot C D = \frac{1}{2} \cdot D B + A D$ ，

∴ $\frac{\sqrt{5}}{2} C D = \frac{1}{2} D B + A D$ ，

即 $\sqrt{5} C D = D B + 2 A D$ ，

故答案为： $\sqrt{5} C D = D B + 2 A D$ ．

广东省深圳市31校2022-2023学年中考联考二模数学试卷