解：①如图，

∵ $B E$ 是 $⊙ O$ 的直径，

∴ $∠ B A E = 90 ° ， ∠ B C E = 90 °$ ，

∵ $B E = 8$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $C E = 4 \sqrt{2}$ ，

∴ $A E = \sqrt{B E^{2} - A B^{2}} = 4$ ， $B C = \sqrt{B E^{2} - C E^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ，

∴ $s i n ∠ E B A = \frac{1}{2} ， C E = B C$ ，

∴ $∠ A B E = 30 °$ ， $∠ C E B = ∠ C B E = 45 °$ ，

∵ $A D ∥ B C$ ，

∴ $∠ E G F = ∠ E C B = 90 °$ ， $∠ G F E = ∠ C B E = 45 °$ ，

∴ $∠ E G A = 90 ° ， ∠ A G C = 90 °$ ， $∠ G F E = ∠ G E F$ ，

∵ $∠ A C G = ∠ A B E = 30 °$ ，

设 $A G = x$ ，则： $C G = \sqrt{3} x$ ，

∴ $E G = C E - C G = 4 \sqrt{2} - \sqrt{3} x$ ，

在 $R t △ A G E$ 中， $A E^{2} = E G^{2} + A G^{2}$ ，即： $4^{2} = x^{2} + {(4 \sqrt{2} - \sqrt{3} x)}^{2}$ ，

解得： $x = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 或 $x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，

当 $x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ， $C G = \sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} > C E$ ，不符合题意，

∴ $x = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ，

∴ $A G = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ， $C G = 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}$ ， $E G = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，

∵ $∠ G F E = ∠ G E F$ ，

∴ $G F = E G = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，

∴ $A F = A G + G F = \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{6} = 2 \sqrt{6}$ ；

②由①可知： $∠ A G E = 90 °$ ，

∴点G在以 $A E$ 为直径的 $⊙ H$ 上，则： $B G \geq B H - H G$ ，

∴当 $B ， G ， H$ 三点共线时， $B G$ 取得最小值为 $B H - H G$ ，如图：

由①可知： $A E = 4$ ， $∠ B A E = 90 °$ ，

∴ $A H = H G = 2$ ， $B H = \sqrt{A B^{2} + A H^{2}} = 2 \sqrt{13}$ ，

此时 $B G = B H - H G = 2 \sqrt{13} - 2$ ．

广东省珠海市斗门区2023年中考一模数学试题