解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作

A B

的中垂线

x = 4

与x轴交于点C（如图），

设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线 $x = 4$ 上，设 $P (5 ， a)$ ，

则 $2 ∠ A Q C = ∠ A Q B = 2 ∠ A P B$ ，

∴ $∠ A Q C = ∠ A P B$ ，

①当 $∠ A P B = 3 0^{°}$ 时： $t a n ∠ A Q C = \frac{A C}{Q C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

即 $\frac{2}{Q C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $Q C = 2 \sqrt{3}$ ，

∴ $Q (4 ， 2 \sqrt{3})$ ， $A Q = 4$ ，

∵ $P Q = A Q = 4$ ，

∴ $(5 - 4)^{2} + (a - 2 \sqrt{3})^{2} = 4^{2}$ ，

解得 $a = 2 \sqrt{3} + \sqrt{15}$ 或者 $a = 2 \sqrt{3} - \sqrt{15}$ （舍去），

此时 $P (5 ， 2 \sqrt{3} + \sqrt{15})$ ，

当点P在x轴下方时，由轴对称可知： $P (5 ， - 2 \sqrt{3} - \sqrt{15})$ ，

综上所述，当 $∠ A P B = 3 0^{°}$ 时， $P (5 ， 2 \sqrt{3} + \sqrt{15})$ 或 $P (5 ， - 2 \sqrt{3} - \sqrt{15})$ ，

②当 $∠ A P B = 4 5^{°}$ 时： $t a n ∠ A Q C = \frac{A C}{Q C} = 1$ ，

即 $\frac{2}{Q C} = 1$ ， $Q C = 2$ ，

∴ $Q (4 ， 2)$ ， $A Q = 2 \sqrt{2}$ ，

∵ $P Q = A Q = 2 \sqrt{2}$ ，

∴ $(5 - 4)^{2} + (a - 2)^{2} = (2 \sqrt{2})^{2}$ ，

解得 $a = 2 + \sqrt{7}$ 或者 $a = 2 - \sqrt{7}$ （舍去），

此时 $P (5 ， 2 + \sqrt{7})$ ，

当点P在x轴下方时，由轴对称可知： $P (5 ， - 2 - \sqrt{7})$ ，

综上所述，当 $∠ A P B = 4 5^{°}$ 时， $P (5 ， 2 + \sqrt{7})$ 或 $P (5 ， - 2 - \sqrt{7})$ ，

③当 $∠ A P B = 6 0^{°}$ 时： $t a n ∠ A Q C = \frac{A C}{Q C} = \sqrt{3}$ ，

即 $\frac{2}{Q C} = \sqrt{3}$ ， $Q C = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ ，

∴ $Q (4 ， \frac{2}{3} \sqrt{3})$ ， $A Q = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ，

∵ $P Q = A Q = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ，

∴ $(5 - 4)^{2} + (a - \frac{2}{3} \sqrt{3})^{2} = (\frac{4}{3} \sqrt{3})^{2}$ ，

解得 $a = \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{3}$ 或者 $a = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{3}$ （舍去），

此时 $P (5 ， \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{3})$ ，

当点P在x轴下方时，由轴对称可知： $P (5 ， \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{3})$ ，

综上所述，当 $∠ A P B = 6 0^{°}$ 时， $P (5 ， \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{39}}{3})$ 或 $P (5 ， \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{39}}{3})$ ，

（ⅱ）

作线段 $A B$ 的中垂线 $x = 4$ 分别与x轴、直线 $C D$ 交于点E、F（如图1），

设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线 $x = 4$ 上， $E (4 ， 0)$ ，

则有 $E F = D E = 6$ ，

如图2，当 $⊙ Q$ 与直线 $C D$ 相切时， $∠ A M B$ 最大，

∴ $M B ⊥ C D$ ，此时 $△ M Q F$ 为等腰直角三角形，

$F Q = \frac{R}{s i n 4 5^{°}} = \sqrt{2} R$ ，

$Q E = E F - F Q = D E - F Q = 6 - \sqrt{2} R$ ，

在 $R t △ Q E A$ 中： $2^{2} + (6 - \sqrt{2} R)^{2} = R^{2}$ ，

解得： $R = 2 \sqrt{2}$ 或 $R = 10 \sqrt{2}$ （舍去），

∴ $Q E = 6 - \sqrt{2} R = 6 - \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} = 2$ ，

∴ $A E = Q E = 2$ ，

即 $R t △ Q E A$ 为等腰直角三角形，

∴ $∠ A M B = ∠ A Q E = 4 5^{°}$ ，

∴ $∠ A M D = 4 5^{°}$ ，

∴ $∠ D A M = 18 0^{°} - ∠ A M D - ∠ A D M = 9 0^{°}$ ，

∴ $A M ⊥ D B$ ，

∴ $A M = D A = 4$ ，

$S_{△ M A B} = \frac{1}{2} A B \cdot A M = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ，

广东省深圳市光明区2023年中考二模数学试题