解：∵

O C = 3 ， O B = 4

，

∴ $B C = 5$ ，

如图所示，取点 $D (9 ， 0)$ ，则 $B C = B D$ ，设 $D C ， P B$ 交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $F E ⊥ C B$ 于点 $E$ ，延长 $F E$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，

设直线 $C D$ 的解析式为 $y = k_{1} x + 3$ ，

∴ $9 k + 3 = 0$ ，解得： $k_{1} = - \frac{1}{3}$

∴直线 $C D$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{3} x + 3$

则 $B C = B D$ ，

∴ $∠ B D C = ∠ B C D = \frac{θ}{2}$

∵ $∠ P B C = \frac{θ}{2}$ ，

∴ $F C = F B$ ，

∵ $F E ⊥ C B$

∴ $C E = E B$ ，

∴ $E (2 ， \frac{3}{2})$ ， $C E = \frac{1}{2} B C = \frac{5}{2}$

∵ $∠ B C O + ∠ O B C = ∠ ∠ E C G + ∠ C G E$

∴ $∠ C G E = ∠ O B C$ ，

又∵ $∠ C O B = ∠ C E G = 90 °$

∴ $△ B C O ∽ △ G C E$

∴ $\frac{C E}{C O} = \frac{C G}{B C}$

∴ $C G = \frac{5 \times \frac{5}{3}}{3} = \frac{25}{6}$ ，

∴ $G (0 ， - \frac{7}{6})$

设直线 $G E$ 的解析式为 $y = k_{2} x - \frac{7}{6}$ ，

∴ $2 k_{2} - \frac{7}{6} = \frac{3}{2}$

解得： $k_{2} = \frac{4}{3}$ ，

∴直线 $G E$ 的解析式为 $y = \frac{4}{3} x - \frac{7}{6}$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = - \frac{1}{3} x + 3 \\ y = \frac{4}{3} x - \frac{7}{6} \end{array}$

解得： ${\begin{array}{l} x = \frac{5}{2} \\ y = \frac{13}{6} \end{array}$

∴ $F (\frac{5}{2} ， \frac{13}{6})$

设直线 $B F$ 的解析式为 $y = k_{3} x + b_{3}$

则 ${\begin{array}{l} 4 k_{3} + b_{3} = 0 \\ \frac{5}{2} k_{3} + b_{3} = \frac{13}{6} \end{array}$

解得： ${\begin{array}{l} k_{3} = - \frac{13}{9} \\ b_{3} = \frac{52}{9} \end{array}$

∴直线 $B F$ 的解析式为 $y = - \frac{13}{9} x + \frac{52}{9}$

联立 ${\begin{array}{l} y = - \frac{13}{9} x + \frac{52}{9} \\ y = - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 \end{array}$

解得： $x = 4$ （舍去）或 $x = \frac{50}{27}$

∴ $P$ 的横坐标为 $\frac{50}{27}$ .

备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（7）