解：如图，作

P F ∥ x

轴，交直线

B C

于点F，

则 $△ P F D ∽ △ A B D$ .

∴ $\frac{P D}{A D} = \frac{P F}{A B}$ .

∵ $A B = 4$ 是定值，

∴当 $P F$ 最大时， $\frac{P D}{A D} = \frac{P F}{A B}$ 最大.

设 $y_{B C} = k x + b$ ，

∵ $C (0 ， 3) ， B (3 ， 0)$ ，

∴ $y_{B C} = - x + 3$ .

设 $P (m ， - m^{2} + 2 m + 3)$ ，则 $F (m^{2} - 2 m ， - m^{2} + 2 m + 3)$ .

∴ $P F = m - (m^{2} - 2 m) = - m^{2} + 3 m = - {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

∴当 $m = \frac{3}{2}$ 时， $P F$ 取得最大值 $\frac{9}{4}$ ，此时 $P (\frac{3}{2} ， \frac{15}{4})$ .

设点 $Q (t ， - t^{2} + 2 t + 3)$ ，若 $△ A P Q$ 是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，

∴ $t \neq \frac{3}{2} ， t \neq - 1$ ，下面分三类情况讨论：

①若 $∠ A P Q = 90 °$ ，如图，

过点P作 $P P_{2} ⊥ x$ 轴于点 $P_{2}$ ，作 $Q P_{1} ⊥ P_{2} P$ 交 $P_{2} P$ 的延长线于点 $P_{1}$ ，则 $△ P P_{1} Q ∽ △ A P_{2} P$ .

∴ $\frac{Q P_{1}}{P P_{1}} = \frac{P P_{2}}{A P_{2}}$ .

∴ $\frac{\frac{3}{2} - t}{- t^{2} + 2 t + 3 - \frac{15}{4}} = \frac{\frac{15}{4}}{\frac{3}{2} + 1}$ .

∵ $t \neq \frac{3}{2}$ ，

∴ $\frac{1}{t - \frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$ .

∴ $t = \frac{7}{6}$ .

②若 $∠ P A Q = 90 °$ ，如图，过点P作直线 $P A_{1} ⊥ x$ 轴于点 $A_{1}$ ，过点Q作 $Q A_{2} ⊥ x$ 轴于点 $A_{2}$ ， $△ A P A_{1} ∽ △ Q A A_{2}$ .

∴ $\frac{P A_{1}}{A A_{1}} = \frac{A A_{2}}{Q A_{2}}$ .

∴ $\frac{\frac{15}{4}}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{t + 1}{t^{2} - 2 t - 3}$ .

∵ $t \neq - 1$ ，

∴ $\frac{3}{2} = \frac{1}{t - 3}$ .

∴ $t = \frac{11}{3}$ .

③若 $∠ A Q P = 90 °$ ，如图，过点Q作 $Q Q_{1} ⊥ x$ 轴于点 $Q_{1}$ ，作 $P Q_{2} ⊥ Q_{1} Q$ 交 $Q_{1} Q$ 的延长线于点 $Q_{2}$ ，则 $△ P Q Q_{2} ∽ △ Q A Q_{1}$ .

∴ $\frac{P Q_{2}}{Q Q_{2}} = \frac{Q Q_{1}}{A Q_{1}}$ .

∴ $\frac{t - \frac{3}{2}}{\frac{15}{4} - (- t^{2} + 2 t + 3)} = \frac{- t^{2} + 2 t + 3}{t + 1}$ .

∵ $t \neq \frac{3}{2} ， t \neq - 1$ ，

∴ $\frac{2}{2 t - 1} = 3 - t$ .

∴ $t_{1} = 1 ， t_{2} = \frac{5}{2}$ .

综上所述，当 $\frac{P D}{A D}$ 的值最大且 $△ A P Q$ 是直角三角形时，点Q的横坐标为 $\frac{7}{6}$ ， $\frac{11}{3}$ ， $\frac{5}{2}$ ，1.

备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（4）