解：如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，

∵ $E F$ 垂直平分 $A C$

$∴ A F = F C ， A O = C O ， ∠ A H O = 90 °$ ，

由（1）知，O为BC的中点，

∴动点 $A$ 在以O为圆心， $B C$ 为直径且处于菱形 $B C F G$ 内的圆弧上，

$∴ ∠ B A C = 90 ° ， A O = B O = C O$ ，

$∴ ∠ O B A = ∠ O A B$ ，

$∵ ∠ O A B + ∠ O A C = ∠ A O H + ∠ O A C = 90 °$ ，

$∴ ∠ A O H = ∠ O A B = ∠ O B A$ ，

在 $△ A O F$ 和 $△ C O F$ 中，

${\begin{array}{l} A F = C F \\ A O = C O \\ F O = F O \end{array}$ ，

$∴ △ A O F ≌ △ C O F$ ，

$∴ ∠ F A O = ∠ F C O$ ，

∵ $θ = 90 °$ ，菱形 $B C F G$ ，

∴四边形BCFG为正方形，

$∴ ∠ F C O = 90 ° ， F C = B C$ ，

$∴ ∠ F A O = ∠ F C O = 90 °$ ，

设 $F C = B C = x$ ，则 $A F = C F = x$ ， $A O = O C = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} x$ ，

在 $R t △ F A O$ 中，

$t a n ∠ F O A = \frac{A F}{A O} = \frac{x}{\frac{1}{2} x} = 2$ ，

$∵ ∠ A O H = ∠ O B A$ ，

$∴ t a n ∠ A B C = t a n ∠ F O A = 2$ .

【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第23-24题