解：①如图，连接

E G

，

∵ $E F ⊥ F G ， B A ⊥ A E$ ，

∴ $∠ E A G = ∠ E F G = 90 °$ ，

在 $R t △ A E G ， R t △ F E G$ 中，

${\begin{array}{l} E G = E G \\ A E = F E \end{array}$ ，

∴ $R t △ A E G ≌ R t △ F E G (H L)$ ，

∴ $A G = F G$ ；

② $M H + G H = 2 \sqrt{3}$ ，理由如下，

如图所示，过点H作 $H K ⊥ A B$ 于点K，

∵四边形 $A B C D$ 是正方形，且边长为 $6$ ，

∴ $∠ C = ∠ B = 90 °$ ，

又 $H K ⊥ A B$ ，

∴四边形 $H K B C$ 是矩形，

∴ $H K = C B = 6$ ，

∵ $∠ D A B = 90 ° ， ∠ F A G = 90 - ∠ E A F = 30 °$ ，

又 $G A = G F$ ，

∴ $∠ A F G = ∠ F A G = 30 °$ ，

∴ $∠ H G K = 60 °$ ，

在 $R t △ H G K$ 中， $∠ G H K = 30 °$ ，

∴ $G K = \frac{1}{2} H G$ ，

∵ $G K^{2} + H K^{2} = H G^{2}$ ，

∴ ${(\frac{1}{2} H G)}^{2} + 6^{2} = H G^{2}$ ，

解得： $H G = 4 \sqrt{3}$ ，

∵E是 $A D$ 的中点，则 $A E = 3$ ，

在 $R t △ A E G$ 中， $∠ A G E = \frac{1}{2} ∠ A G F = 60 °$ ，

∴ $∠ A E G = 30 °$ ，

∴ $A G = \sqrt{3}$ ，则 $F G = A G = \sqrt{3}$ ，

∵ $M F = A N$ ，

∴ $G N = A N - A G = M F - F G$ ，

又 $M H = H G - M F - F G$ ，

$M H + G N = 4 \sqrt{3} - M F - F G + M F - F G = 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ ；

即 $M H + G H = 2 \sqrt{3}$ ，

人教版初中数学几何辅助线进阶训练——等腰三角形的辅助线（不含相似）