解：14或

8 - 2 \sqrt{3}

.

过E作EH⊥BC于H，

∴在Rt△ECD中，CE=2 $\sqrt{2}$ ，

∵∠BCD=105º，

∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，

∴CH= $\frac{1}{2} CE= \sqrt{2}$ ，EH= $\sqrt{C E^{2} - C H^{2}} = \sqrt{6}$ ，

∵BC= $2 \sqrt{6}$ ，

∴BH=BC-CH= $2 \sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ ，

∴FD²= $\frac{1}{4} {BE}^{2} = \frac{1}{4} (B H^{2} + E H^{2}) = \frac{1}{4} [{(2 \sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}] = 8 - 2 \sqrt{3}$ ；

延长BC，过E作EG⊥BC于G，

∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，

∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，

∴GE= $\frac{1}{2} CE= \sqrt{2}$ ，

∴CG= $\sqrt{C E^{2} - G E^{2}} = \sqrt{6}$ ，

∴ $B G = B C + C G = 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} = 3 \sqrt{6}$

∴FD²= $\frac{1}{4} {BE}^{2} = \frac{1}{4} (B G^{2} + G E^{2}) = \frac{1}{4} [{(3 \sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}] = 14$ .

综上所述， $D F^{2}$ 的值为14或 $8 - 2 \sqrt{3}$ .

人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造中线（不含相似）