解：①∵

△ A B C

是等边三角形，

∴ $∠ A B C = 60 °$ ，

∵ $D B ⊥ A B$

∴ $∠ D B C = 30 °$ ，

如图2，连接 $C D$ ，

∵ $B C$ 是直径，

∴ $∠ B D C = 90 °$ ，

∴ $B D = B C c o s ∠ C B D = 8 \times c o s 30 ° = 4 \sqrt{3}$ ，

∴ $A D = \sqrt{A B^{2} + B D^{2}} = \sqrt{8^{2} + (4 \sqrt{3})^{2}} = 4 \sqrt{7}$

② $B F = A E$ 有两种不同位置情况，

I、当 $B F = A E$ ， $A F = B E$ 时，如图3-1：

∵ $∠ A B C = ∠ B A C = 60 °$ ，

∴ $△ A B F ≅ △ B A E (S A S)$

∴ $∠ A B F = ∠ B A E$ ，

∴ $A G = B G$ ，

∴点G在 $A B$ 的垂直平分线上运动，当点D在半圆 $B C$ 上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的 $△ A B C$ 的 $B C$ 边的高线 $C H$ ，

$C H = A C \cdot s i n ∠ H A C = 8 s i n 60 ° = 4 \sqrt{3}$ ，

故此时点D在半圆 $B C$ 上从点B运动到点C，点G经过的路径长 $4 \sqrt{3}$ ，

II、当 $B F = A E$ ， $C F = B E$ 时，如图3-2：

∵ $∠ A B C = ∠ A C B = 60 °$ ，

∴ $△ B A E ≅ △ C B F (S A S)$

∴ $∠ B A E = ∠ C B F$ ，

∴ $∠ B G A = 180 ° - ∠ B A E - ∠ A B G = 180 ° - ∠ F B C - ∠ A B F = 120 °$ ，

∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，

设圆弧的圆心为O，过O作 $O H ⊥ A B$ ，则 $∠ A O B = 2 (180 ° - 120 °) = 120 °$ ，

∴ $∠ A B O = ∠ O A B = 30 °$ ， $A H = \frac{1}{2} A B = 4$ ，

$O A = \frac{A H}{c o s ∠ O A B} = \frac{4}{c o s 30 °} = \frac{8}{3} \sqrt{3}$ ，

∴ $\overset{⌢}{A G B}$ 长为 $\frac{120}{360} \times 2 \times \frac{8}{3} \sqrt{3} π = \frac{16 \sqrt{3}}{9} π$ ，

故此时点D在半圆 $B C$ 上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ ，圆心角为 $120 °$ 的 $\overset{⌢}{A G B}$ ，长为 $\frac{16 \sqrt{3}}{9} π$ ，

综上所述：当点D在半圆 $B C$ 上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为 $4 \sqrt{3}$ 或 $\frac{16 \sqrt{3}}{9} π$ ．

广东省广州市花都区2023年中考数学一模试卷