解：如图，延长

P Q

交x轴于R，

由旋转可得 $△ M O N ≌ △ M Q P$ ， $∠ N M P = 90 °$ ，

$∴ M P = M N = b$ ， $P Q = O N = a$ ， $∠ M P Q = 90 °$ ，

$∵ M N ⊥ x$ 轴，

$∴ ∠ M N R = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $M N R P$ 是矩形，

$∴ ∠ P R N = 90 °$ ，

$∴ P R = M N = b$ ， $Q R = b - a$ ， $O R = a + b$ ，

$∴ Q (a + b ， b - a)$ ，

$∵$ 点 $M$ ， $Q$ 都在双曲线上，

$∴ a b = (a + b) (b - a)$ ，

即 $a^{2} + a b - b^{2} = 0$ ，

方程两边同时除以 $b^{2}$ ，得

$(\frac{a}{b})^{2} + \frac{a}{b} - 1 = 0$ ，

解得 $\frac{a}{b} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$ ，

$∵ b > a > 0$ ，

$∴$ $\frac{a}{b} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ .

2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷11.2 反比例函数的图像与性质