解：作

B M ⊥ C H

于M，

A K ⊥ C H

于K，如图所示：

∴ $∠ A C K + ∠ C A K = 90 °$ ， $∠ A K C = ∠ B M C = 90 °$ ，

∵ $∠ A C B = 90 °$ ，

∴ $∠ A C K + ∠ K C B = 90 °$ ，

∴ $∠ C A K = ∠ K C B$ ，

∵ $A C = B C$ ，

∴ $△ A C K ≌ △ C B M$ ，

∴ $A K = C M$ ，

∵ $C B = B F$ ， $B M ⊥ C F$ ，

∴ $C M = F M = A K$ ，

∵ $△ A C F ≌ △ B C D$ ，

∴ $C F = C D$ ，

∵ $∠ F C D = 90 °$ ，

∴ $∠ C F D = ∠ C D F = 45 ° = ∠ A F K$ ，

∴ $△ A F K$ 是等腰直角三角形，

∴ $A K = F K = F M = C M$ ，

在 $R t △ A K C$ 中， $t a n ∠ C A K = \frac{C K}{A K} = 3$ ，作 $E N ⊥ C H$ 于N，

在 $R t △ N C E$ 中，

∵ $∠ H C B = ∠ C A K$ ，

∴ $t a n ∠ N C E = \frac{E N}{C N} = 3$ ，

设 $C N = m$ ， $E N = 3 m = N F$ ，

∴ $S_{△ C E F} = \frac{1}{2} C F \cdot E N = \frac{1}{2} \times (m + 3 m) \times 3 m = 3$ ，

∴ $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

∴ $C F = 4 m = 2 \sqrt{2}$ ，

∴ $C M = F M = F K = A K = \sqrt{2}$ ，

∴ $A F = 2$ ，

∵ $\overset{⌢}{D B} = \overset{⌢}{D B}$ ，

∴ $∠ D C B = ∠ D A B = ∠ A C K$ ，

过G作 $G Q ⊥ A F$ 于Q，

在 $R t △ A Q G$ 中， $t a n ∠ F A B = \frac{Q G}{A Q} = \frac{1}{3}$ ，设 $Q G = x$ ， $A Q = 3 x$ ， $F Q = x$ ，

∴ $4 x = 2$ ，

∴ $x = \frac{1}{2}$ ，

∴ $F G = \sqrt{2} Q G = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

浙江绍兴市柯桥区实验中学2023年初中学业水平模拟考试数学试题