解：①过点E作

E F ⊥ A D

于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，

∴ $A C / / B D$ ，

∵ $△ A D E$ 是等边三角形，且 $A E$ 与 $A C$ 重合，

∴∠EAD=60°，

∴ $∠ A D B = ∠ E A D = 60 °$ ，

∴ $∠ B A D = 30 °$ ，

∴在 $R t △ A D B$ 中， $A D = 2 B D$ ， $A B = \sqrt{3} B D$ ，

又∵ $B D = 2 A C$ ， $A C = \frac{3}{2}$ ，

∴ $A D = 6 ， A B = 3 \sqrt{3}$ ，

∴ $A H = D H = \frac{1}{2} A D = 3$ ，

又 $R t △ A D B$ ，

∴ $E H = \sqrt{A H^{2} + A E^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{3}$ ，

又由（1）知 $\frac{A O}{A D} = \frac{1}{3}$ ，

∴ $A O = \frac{1}{3} A D = 2$ ，则 $O H = 1$ ，

∴在 $R t △ E O H$ 中，由勾股定理得： $O E = 2 \sqrt{7}$ .

②连接 $C D$ ，如图3所示：

∵ $A C / / B D$ ，

∴ $∠ C B D = ∠ A C B = 60 °$ ，

∵ $△ B C D$ 是等腰三角形，

∴ $△ B C D$ 是等边三角形，

又∵ $△ A D E$ 是等边三角形，

∴ $△ A B D$ 绕点D顺时针旋转 $60 °$ 后与 $△ E C D$ 重合，

∴ $∠ E C D = ∠ A B D = 90 °$ ，

又∵ $∠ B C D = ∠ A C B = 60 °$ ，

∴ $∠ A C F = ∠ F C B = ∠ F B C = 30 °$ ，

∴ $F C = F B = 2 A F$ ，

∴ $\frac{A F}{A B} = \frac{A O}{A D} = \frac{1}{3}$ ，

又 $∠ O A F = ∠ D A B$ ，

∴ $△ A O F ∽ △ A D B$ ，

∴ $∠ A F O = ∠ A B D = 90 °$ ，

∴ $O F ⊥ A B$ .

2023年中考数学精选真题实战测试58 图形变换 B