解：

△ B F H

为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：

①当FH=BH时，作 $M H ⊥ B F$ 于点M

由(1)可知：AB=BF， $∠ A B E = ∠ E B F = α$

$∵$ 四边形ABCD是正方形

$∴ A B = B C ， ∠ A B C = 90 ° ， ∠ B A E = 90 °$

设AB=BF=BC=a

$∵$ 将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$

$∴ ∠ C B H = ∠ A B E = α ， B H = B E$

$∴ ∠ F B H = ∠ A B C - ∠ A B F + ∠ C B H = 90 ° - 2 α + α = 90 ° - α$

$∵$ FH=BH

$∴ ∠ H B F = ∠ B F H = 90 ° - α$

$∴ ∠ F H B = 180 ° - ∠ F B H - ∠ B F H = 2 α$

$∵ △ B F H$ 是等腰三角形， $B H = H F ， H M ⊥ B F$

$∴ ∠ B H M = ∠ F H M = α ， B M = M F = \frac{1}{2} B F = \frac{a}{2}$

在 $△ A B E$ 和 $△ M H B$ 中，

${\begin{cases} ∠ B A E = ∠ B M H = 90 ° \\ ∠ B H M = ∠ A B E = α \end{cases}$

$∴ △ A B E ∽ △ M H B$

$∴ \frac{B M}{A E} = \frac{B H}{B E} = 1$

$∴$ BM=AE= $\frac{a}{2}$

$∴ B E = \sqrt{A E^{2} + A B^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{\sqrt{5} a}{2}$

$∴ s i n α = \frac{A E}{B E} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

②当BF=FH时，

设FH与BC交点为O

$∵$ $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$

$∴ ∠ A B E = ∠ C B H = α$

由(1)可知： $∠ A B F = 2 α$

$∴ ∠ F B C = 90 ° - 2 α$

$∴ ∠ F B H = ∠ F B C + ∠ C B H = 90 ° - 2 α + α = 90 ° - α$

$∵ B F = F H$

$∴ ∠ F B H = ∠ F H B = 90 ° - α$

$∴ ∠ B O H = 180 ° - ∠ C B H - ∠ B H F = 90 °$

此时， $∠ B O H$ 与 $∠ B C H$ 重合，与题目不符，故舍去

③当BF=BH时，

由(1)可知：AB=BF

设AB=BF=a

$∵$ 四边形ABCD是正方形

$∴$ AB=BC=a

$∵$ BF=BH

$∴$ BF=BH=BC=a

而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去.

故答案为： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

2023年中考数学精选真题实战测试57 图形变换 A