解：连接OE，与BD相交于M点

∵ $∠ B D A = 90 °$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D = 4$

∴ $△ A D B$ 为等腰直角三角形

∴ $B D = A D = 4$ ， $A B = \sqrt{A D^{2} + B D^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ O B M = 45 °$

∴ $O B = 2 \sqrt{2}$

∴ $O E = O B = 2 \sqrt{2}$

∴ $∠ O E B = ∠ A B C$

∵ $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$

∴ $∠ B O E = ∠ B A C = 45 °$

∴ $O E ∥ A C$

∴ $∠ O M B = ∠ A D B = 90 °$

∴ $△ O M B$ 为等腰直角三角形

∴ $B M = O M = 2$

∴ $S_{阴影} = S_{扇形 O A B} - S_{Δ O B E} = \frac{45 π (2 \sqrt{2})^{2}}{360 °} - \frac{2 \times 2 \sqrt{2}}{2} = π - 2 \sqrt{2}$

2023年中考数学精选真题实战测试56 与圆相关的计算 B