解：∵四边形

A B C D

为正方形，

∴ $A B ∥ C D$ ．

∵ $A E = D G$ ， $A E ∥ D G$ ，

∴四边形 $A E G D$ 为平行四边形．

∴ $A D ∥ E G$ ．

∴ $E G ∥ B C$ ．

过点 $H$ 作 $H M ⊥ B C$ ，垂足为点 $M$ ，交 $E G$ 于点 $N$ ，

∴ $\frac{H N}{H M} = \frac{H O}{H F}$ ．

∵ $O E ： O F = 4 ： 5$ ，

设 $O E = 4 x$ ， $O F = 5 x$ ， $H N = h$ ，则 $\frac{h}{16} = \frac{20 - 5 x}{20}$ ，

∴ $h = 4 (4 - x)$ ．

∴ $S = \frac{1}{2} \cdot O E \cdot H N = \frac{1}{2} \cdot 4 x \cdot 4 (4 - x) = - 8 {(x - 2)}^{2} + 32$ ．

∴当 $x = 2$ 时， $△ O E H$ 的面积最大，

∴ $O E = 4 x = 8 = \frac{1}{2} E G = O G$ ， $O F = 5 x = 10 = \frac{1}{2} H F = O H$ ，

∴四边形 $E F G H$ 是平行四边形．

2023年中考数学精选真题实战测试46 四边形综合题 B