解：当∠C为锐角时，

a^{2} + b^{2} > c^{2}

；证明如下：

如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD= $a - x$ ，

在直角三角形ACD中， $A D^{2} = b^{2} - x^{2}$ ，

在直角三角形ABD中， $A D^{2} = c^{2} - (a - x)^{2}$ ，

∴ $b^{2} - x^{2} = c^{2} - (a - x {)^{2}}_{^{}}$ ，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 a x$ ．

∵ $a$ >0，x>0，

∴ $a^{2} + b^{2} > c^{2}$

当∠C为钝角（如图）时， $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，证明如下：

如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设 $C M = y$ ，则 $B M = a + y$ ，

在直角三角形ACM中， $A M^{2} = b^{2} - y^{2}$ ，

在直角三角形ABM中， $A M^{2} = c^{2} - (a + y)^{2}$ ，

∴ $b^{2} - y^{2} = c^{2} - (a + y {)^{2}}_{^{}}$ ，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2} - 2 a y$ ．

∵ $a$ >0， $y$ >0，

∴ $a^{2} + b^{2}$ < $c^{2}$ ．

初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 17.1 勾股定理）