解：a存在；

∵ $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ 的判别式 $Δ > 0$ ，方程有两组正数解，故存在；

从图像来看， $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ 在第一象限有两个交点，故存在；

b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 $x + y = \frac{5}{2}$ ， $x y = 3$ ，联立 ${\begin{array}{l} x + y = \frac{5}{2} \\ x y = 3 \end{array}$ 得 $x^{2} - \frac{5}{2} x + 3 = 0$ ，

因为 $Δ < 0$ ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；

从图像来看， $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ 在第一象限无交点，故不存在；

c. $k ⩾ \frac{24}{25}$ ；

设新矩形长和宽为x和y，则由题意 $x + y = 5 k$ ， $x y = 6 k$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 5 k \\ x y = 6 k \end{array}$ 得 $x^{2} - 5 k x + 6 k = 0$ ， $Δ = 25 k^{2} - 24 k ⩾ 0$ ，故 $k ⩾ \frac{24}{25}$ ．

2023年中考数学精选真题实战测试16一元二次方程 B